Question

兩根足夠長的光滑金屬導軌平行固定在傾角為θ的斜面上，它們的間距為d．磁感應強度為B的勻強磁場充滿整個空間、方向垂直于斜面向上．兩根金屬桿ab、cd的質量分別為m和2m，垂直于導軌水平放置在導軌上，如圖所示．設桿和導軌形成的回路總電阻為R而且保持不變，重力加速度為g．
（1）給ab桿一個方向沿斜面向上的初速度，同時對ab桿施加一平行于導軌方向的恒定拉力，結果cd桿恰好保持靜止而ab桿則保持勻速運動．求拉力做功的功率．
（2）若作用在ab桿的拉力與第（1）問相同，但兩根桿都是同時從靜止開始運動，求兩根桿達到穩定狀態時的速度．

Answer 1

（1）cd桿保持靜止，則桿所受安培力 F_B=IdB=2mgsinθ ①
設ab桿所受的拉力為F，則對ab桿，有F=mgsinθ+F_B ②
設ab桿的速度為v₀，則回路中的感應電流 I=

Bdv0

R

③
拉力做功的功率P=Fv₀
聯立解得拉力做功的功率P=(

mgsinθ

Bd

)2?6R⑤
（2）開始時ab桿所受合力沿斜面向上，因此沿斜面向上運動，而cd桿所受合力沿斜面向下，因此沿斜面向下運動，隨著速度的增大，安培力也逐漸增大，最后兩桿同時達到勻速運動狀態．設ab桿和cd桿最后的速度大小分別為v₁、v₂，因為兩桿組成的系統所受的外力合力為零，因此系統動量守恒，取沿斜面向上為正方向，則 0=mv₁-2mv₂ ⑥
cd桿勻速運動，則桿所受安培力 I'dB=2mgsinθ ⑦
回路中的電流 I′=

Bd(v1+v2)

R

⑧
聯立解得ab桿和cd桿達到穩定狀態時的速度分別為 v1=

4mgRsinθ

3B2d2

（方向沿斜面向上）⑨
v2=

2mgRsinθ

3B2d2

（方向沿斜面向下）⑩
答：
（1）拉力做功的功率為(

mgsinθ

Bd

)2?6R．
（2）ab桿達到穩定狀態時的速度為

4mgRsinθ

3B2d2

方向沿斜面向上，cd桿達到穩定狀態時的速度為

2mgRsinθ

3B2d2

方向沿斜面向下．