Question

【題目】（1）牛頓發(fā)現(xiàn)萬有引力定律之后，在卡文迪許生活的年代，地球的半徑經(jīng)過測(cè)量和計(jì)算已經(jīng)知道約6400千米，因此卡文迪許測(cè)出引力常量G后，很快通過計(jì)算得出了地球的質(zhì)量。1798年，他首次測(cè)出了地球的質(zhì)量數(shù)值，卡文迪許因此被人們譽(yù)為“第一個(gè)稱地球的人”。若已知地球半徑為R，地球表面的重力加速度為g，萬有引力常量為G，忽略地球的自轉(zhuǎn)。

a．求地球的質(zhì)量；

b．若一衛(wèi)星在距地球表面高為h的軌道上繞地球作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，求該衛(wèi)星繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)的周期；

（2）牛頓時(shí)代已知如下數(shù)據(jù)：月球繞地球運(yùn)行的周期T、地球半徑R、月球與地球間的距離60R、地球表面的重力加速度g。牛頓在研究引力的過程中，為了驗(yàn)證地面上物體的重力與地球吸引月球的力是同一性質(zhì)的力，同樣遵從與距離的平方成反比規(guī)律的猜想，他做了著名的“月地檢驗(yàn)”：月球繞地球近似做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。牛頓首先從運(yùn)動(dòng)學(xué)的角度計(jì)算出了月球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心加速度；接著他設(shè)想，把一個(gè)物體放到月球軌道上，讓它繞地球運(yùn)行，假定物體在地面受到的重力和在月球軌道上運(yùn)行時(shí)受到的引力，都是來自地球的引力，都遵循與距離的平方成反比的規(guī)律，他又從動(dòng)力學(xué)的角度計(jì)算出了物體在月球軌道上的向心加速度。上述兩個(gè)加速度的計(jì)算結(jié)果是一致的，從而證明了物體在地面上所受的重力與地球吸引月球的力是同一性質(zhì)的力，遵循同樣規(guī)律的設(shè)想。根據(jù)上述材料：

a．請(qǐng)你分別從運(yùn)動(dòng)學(xué)的角度和動(dòng)力學(xué)的角度推導(dǎo)出上述兩個(gè)加速度的表達(dá)式；

b．已知月球繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)的周期約為T=2.4×106s，地球半徑約為R=6.4×106m，取π2=g．結(jié)合題中的已知條件，求上述兩個(gè)加速度的比值，并得出合理的結(jié)論。

Answer 1

【答案】（1）a．；b．；（2）a．；b．； 由以上結(jié)果可以看出，在誤差范圍內(nèi)可認(rèn)為a1=a2，這說明物體在地面上所受重力與地球吸引月球的力是同一性質(zhì)的力，遵循與距離的平方成反比的規(guī)律．

【解析】解：（1）a．設(shè)地球質(zhì)量為M，地球表面上的某物體質(zhì)量為m：

解得：

b．萬有引力提供衛(wèi)星做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力：

解得：

（2）a．月球繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式：

解得：

質(zhì)量為m的物體在地面上受到的重力：

質(zhì)量為m的物體在月球軌道上受到的引力：

解得：

b．由以上結(jié)果得：

代入已知數(shù)值得：=0.96

由以上結(jié)果可以看出，在誤差范圍內(nèi)可認(rèn)為a1=a2，這說明物體在地面上所受重力與地球吸引月球的力是同一性質(zhì)的力，遵循與距離的平方成反比的規(guī)律。