Question

【題目】研究小車運輸能力的裝置可簡化為如圖所示的情形，AB為一段光滑弧固定軌道，PQ為光滑半圓弧固定軌道，圓弧半徑r=0.2m，水平面光滑．BP長S＝3.8m。一長為L=2.8m、質量為M=1kg的平板小車最初停在弧軌道B處，小車上表面略低于B點，且與PQ軌道最低點處于同一水平面。可視為質點、質量為m=4kg的滑塊間斷從距B點高h＝3.2m同一處沿軌道靜止滑下，第一塊滑塊滑上小車后帶動小車也向右運動，小車壓縮P點下方長度不計的輕彈簧，待滑塊離開小車后，小車被彈回原速向左運動，滑塊與小車的動摩擦因數為μ=0.8，取g=10m/s2 。

（1）求小車第一次到達P點時的速度大小；

（2）通過計算判斷第一塊滑塊是否滑到Q點；

（3）小車第一次被彈回，當小車左端到達B點時，第二塊滑塊恰好也運動到B點沖上小車，試判斷滑塊是否滑離小車，若滑離請求滑塊滑出小車時的速度大小。若不滑離，請求小車第二次到P點時的速度大小和第二塊滑塊滑到Q點時對軌道的壓力大小。

Answer 1

【答案】（1）6.4m/s（2）第一塊滑塊不能滑到Q點（3）260N

【解析】試題分析：根據機械能守恒定律可得滑到低端的速度，根據動量守恒和牛頓第二定律可得小車第一次到達P點時的速度大小；滑塊恰能到達Q點，根據牛頓第二定律求出速度，求出第一塊滑塊在小車上滑行的相對距離，根據能量守恒定律判斷第一塊滑塊是否滑到Q點；根據動量守恒定律求出共同的速度，在由能量守恒定律求出距離，判斷出能否滑出小車，第二塊滑塊滑到Q點，由向心力公式，求出得第二塊滑塊滑到Q點時對軌道的壓力大小。

（1）對滑塊，根據機械能守恒定律可得：

代入數據解得： v0=8m/s

對滑塊和小車，由動量守恒定律，得mv0=(m+M)v1

解得：v1=6.4m/s

對滑塊，由牛頓第二定律，得 μmg=ma1

解得： a1=8m/s2

由運動學公式可得：

解得：x1＝1.44m

對小車，由牛頓第二定律，得mg=Ma2

解得：a2=32m/s2

由運動學公式，得

解得：x2=0.64m<S-L

小車和滑塊共速后到達P點。小車第一次到達P點時的速度大小為 v1=6.4m/s

（2）滑塊恰能到達Q點，根據牛頓第二定律：

解得：vQ＝

第一塊滑塊在小車上滑行的相對距離為：x1=x1-x2=0.8m

由能量守恒定律得：

解得： ，故第一塊滑塊不能滑到Q點。

（3）小車第一次被彈回B點時，對第二塊滑塊和小車，

由動量守恒定律，得mv0－Mv1=(m+M)v2

解得：v2 =5.12m/s

由能量守恒定律，得

解得：L1＝2.6m<L

故第二塊滑塊不會滑離小車。

分析易知第二塊滑塊和小車共速時，小車末到達P點，

故小車第二次到P點時的速度大小為v2 =5.12m/s .

第二塊滑塊在小車上滑行的相對距離：

由能量守恒定律，得

解得：vQ2

第二塊滑塊滑到Q點，由向心力公式，得FN+mg=

解得：FN=260N

由牛頓第三定律，得第二塊滑塊滑到Q點時對軌道的壓力大小FN=260N