Question

如圖所示，在水平放置的圓盤邊緣C點固定一個小桶，桶的高度不計，圓盤半徑為R=1m,在圓盤直徑CD的正上方，與CD平行放置一條水平滑道AB，滑道右端B與圓盤圓心O在同一豎直線上，且B點距離圓盤圓心的豎直高度h= 1.25m，在滑道左端靜止放置質量為m=0.4kg的物塊（可視為質點），物塊與滑道的動摩擦因數為μ=0.2，現用力F="4" N的水平作用力拉動物塊，同時圓盤從圖示位置以角速度ω="2π" rad/s，繞通過圓心O的豎直軸勻速轉動，拉力作用在物塊上一段時間后撤掉，最終物塊由B點水平拋出，恰好落入圓盤邊緣的小桶內。(重力加速度取10m/s²。)

（1）若拉力作用時間為0.5s，求所需滑道的長度
（2）求拉力所做的最少的功

Answer 1

（1）4m  (2)1.44J

試題分析：（1）設在拉力F作用下物體的加速度為a₁，只在滑動摩擦力作用下的加速度為a₂，根據牛頓第二定律有：F-µmg=ma₁  -µmg=ma₂
 解得a₁=8m/s²   a₂=-2m/s²
由平拋運動規律知從B到C的時間為t==0.5s  所以從B點飛出速度為 v_B==2m/s  
設拉力作用時間為t₀，則滑道的長度L應滿足：

(2)要使拉力做功最少，則應拉力作用時間最短（或作用距離最短），則應滿足圓盤在剛好轉動一周時物塊掉進C中，由題可知圓盤轉動周期：T=1s.由（1）的分析知從拉力開始作用到滑塊到B點所用時間等于0.5s，設拉力作用時間為t₁,自由滑動時間為t₂，
則有v_B=a₁t₁+a₂t₂，解得t₁=0.3s，t₂=0.2s，所以拉力做的最少的功為：
W_F=F×a₁t₁²=1.44J