Question

【題目】理論研究表明暗物質湮滅會產生大量高能正電子，所以在宇宙空間探測高能正電子是科學家發現暗物質的一種方法．如圖為我國某研究小組為暗物質探測衛星設計的探測器截面圖：開口寬為的正方形鋁筒，下方區域I、Ⅱ為兩相鄰的方向相反的勻強磁場，區域Ⅲ為勻強電場，寬度都為d，磁感應強度都為B，電場強度．經過較長時間，儀器能接收到平行鋁筒射入的不同速率的正電子，其中部分正電子將打在介質MN上，其速度方向與MN的夾角為θ．已知正電子的質量為m，電量為+e，不考慮相對論效應及電荷間的相互作用．

（1）求能到達電場區域的正電子的最小速率；

（2）在區域Ⅱ和Ⅲ的分界線上寬度為的區域有正電子射入電場，求正電子的最大速率；

（3）某段時間內MN只記錄到三種θ角，其中兩種對應于上述最小速率和最大速率的正電子，還有一種θ的正切值為．為使這些正電子在MN上的落點區域不可能重疊，求L的最小值．

Answer 1

【答案】(1) (2) (3)

【解析】（1）設正電子的最小速度為v1，半徑為r1

、

解得：

（2）設正電子以最大速度v2在磁場Ⅰ中偏轉距離為x2，半徑為r2

由圖根據幾何關系可得：、

解得：、

，解得：

（3）設正電子在磁場Ⅰ中的偏轉角為α，進入電場時的速度為v，出電場時沿電場線方向的偏轉速度為vy，根據平拋運動知識可得：

，解得：

，得

i．正電子取最小速度v1時，在磁場Ⅰ中偏轉角α1應為：，則，它在磁場Ⅰ中的偏轉距離為x1=d

ii．正電子取最大速度v2時，由（2）結果可得，在磁場Ⅰ中偏轉角α2應為：，

則，它在磁場Ⅰ中的偏轉距離為

iii．正電子取速度v3時，時，可知對應的正電子在磁場Ⅰ中的偏轉角α3應為：，對應在磁場中的半徑，對應在磁場Ⅰ中偏轉距離為

情況1：由圖可知，從最右側射入的速度為v3正電子與從最左側以速度v1射入的正電子到達電場上邊界位置間的距離為，可得：，解得

情況2：由圖可知，從最左側射入的速度為v3正電子與從最右側以速度v2射入的正電子在到達電場上邊界位置間的距離、，解得

為使這些正電子在MN上的落點區域不可能重疊， L的最小值應為