Question

如圖所示，電阻不計足夠長的光滑平行金屬導軌與水平面夾角θ=30°，導軌間距l，所在平面的正方形區域abcd內存在有界勻強磁場，磁感應強度為B=0.2T，方向垂直斜面向上．甲、乙金屬桿質量均為m=0.02kg、電阻相同，甲金屬桿處在磁場的上邊界，乙金屬桿距甲也為l，其中l=0.4m．同時無初速釋放兩金屬桿，此刻在甲金屬桿上施加一個沿著導軌的外力F，保持甲金屬桿在運動過程中始終與乙金屬桿未進入磁場時的加速度相同．且乙金屬桿進入磁場后恰能做勻速直線運動，（取g=10m/s²）
（1）計算乙的電阻R．
（2）以剛釋放兩桿時作為零時刻，寫出從開始到甲金屬桿離開磁場的過程中，外力F隨時間t的變化關系，并說明F的方向．
（3）若從開始釋放到乙金屬桿離開磁場，乙金屬桿中共產生熱量Q=

1

30

J，試求此過程中外力F對甲做的功．

Answer 1

（1）甲乙加速度相同（5m/s²），當乙進入磁場時，甲剛出磁場；乙進入磁場時速度為：
v=

2glsinθ

=

2×10×0.4×sin30°

m/s=2m/s
乙在磁場中勻速運動，有：mgsinθ=F=

B2l2v

2R

得：R=

B2l2v

2mgsinθ

=

0．22×0．42×2

2×0.02×10× 1 2

Ω=0.064Ω
（2）甲在磁場中運動時，有：v=at=5t
根據牛頓第二定律得：
F+mgsin30°-F_A=ma
由于 a=gsin30°
外力F始終等于安培力，得：F=F_A=IlB=

Blv

2R

lB=0.25t
F的方向沿導軌向下．
（3）乙進入磁場前，甲乙發出相同熱量，設為Q₁，此過程中甲一直在磁場中，外力F始終等于安培力，則有：W_F=W_安=2Q₁，
乙在磁場中運動發出熱量Q₂，利用動能定理有：mglsinθ-2Q₂=0
得：Q₂=0.02J
甲乙發出相同熱量，有：Q₁=

Q-Q2

2

=

1

75

=0.0133J
由于甲出磁場以后，外力F為零．
得：W_F=2Q₁=

2

75

=0.0266J
答：（1）乙的電阻R為0.064Ω．
（2）從開始到甲金屬桿離開磁場的過程中，外力F隨時間t的變化關系為F=0.25t，F的方向沿導軌向下．
（3）此過程中外力F對甲做的功為0.0266J．