Question

【題目】如圖所示，水平地面上左側(cè)有一質(zhì)量為2m的四分之一光滑圓弧斜槽C，斜槽末端切線水平，右側(cè)有一質(zhì)量為3m的帶擋板P的木板B，木板上表面水平且光滑，木板與地面的動(dòng)摩擦因數(shù)為0.25，斜槽末端和木板左端平滑過渡但不粘連。某時(shí)刻，一質(zhì)量為m的可視為質(zhì)點(diǎn)的光滑小球A從斜槽頂端靜止?jié)L下，重力加速度為g，求:

(1)若光滑圓弧斜槽C不固定，圓弧半徑為R且不計(jì)斜槽C與地面的摩擦，求小球滾動(dòng)到斜槽末端時(shí)斜槽的動(dòng)能?

(2)若斜槽C固定在地面上，小球從斜槽末端滾上木板左端時(shí)的速度為v0，小球滾上木板的同時(shí)，外界給木板施加大小為v0的水平向右初速度，并且同時(shí)分別在小球上和木板上施加水平向右的恒力F1與F2，且F1=F2=0.5mg。當(dāng)小球運(yùn)動(dòng)到木板右端時(shí)(與擋板碰前的瞬間)，木板的速度剛好減為零，之后小球與木板的擋板發(fā)生第1次相碰，以后會(huì)發(fā)生多次碰撞。已知小球與擋板都是彈性碰撞且碰撞時(shí)間極短，小球始終在木板上運(yùn)動(dòng)。求:

①小球與擋板第1次碰撞后的瞬間，木板的速度大小。

②小球與擋板第1次碰撞后至第10次碰撞后瞬間的過程中F1與F2做功之和。

Answer 1

【答案】（1）（2）①2v0②

【解析】

（1）由題可知，設(shè)小球滾到斜槽末端時(shí)，A與C的速度大小分別為vA、vC。A與C系統(tǒng)水平方向動(dòng)量守恒，取水平向右為正方向，則

A與C系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，則

小球滾動(dòng)到斜槽末端時(shí)斜槽的動(dòng)能

解得

（2）①小球滾到木板上后，小球與木板的加速度大小分別為a1和a2。則

木板開始運(yùn)動(dòng)到速度第一減為零的時(shí)間為

小球第一次與擋板碰撞前瞬間的速度為

另設(shè)小球與擋板第1次碰撞后的瞬間，小球與木板的速度分別為vA1、vB1，取向右為正方向，A與B動(dòng)量守恒，則得

A與B系統(tǒng)的總動(dòng)能不變，則

解得

vA1=-2v0，vB1=2v0

②由題可知，第1次碰撞后，小球以2v0沿木板向左勻減速運(yùn)動(dòng)再反向勻加速，木板以2v0向右勻減速運(yùn)動(dòng)（兩者v-t圖象如圖所示），木板速度再次減為零的時(shí)間

小球的速度

此時(shí)，小球的位移

木板的位移

即小球、木板第2次相碰前瞬間的速度與第1次相碰前瞬間的速度相同，以后小球、木板重復(fù)前面的運(yùn)動(dòng)過程。則第1次碰撞后與第10次碰撞后瞬間，小球與木板總位移相同，都為

由此過程F1與F2做功之和

解得

答：（1）（2）①2v0②