Question

【題目】微觀世界與宏觀世界往往存在奇妙的相似性．對于氫原子模型，因?yàn)樵�子核的質(zhì)量遠(yuǎn)大于電子質(zhì)量，可以忽略原子核的運(yùn)動，形成類似天文學(xué)中的恒星﹣行星系統(tǒng)，記為模型Ⅰ．另一種模型認(rèn)為氫原子的核外電子并非繞核旋轉(zhuǎn)，而是類似天文學(xué)中的雙星系統(tǒng)，核外電子和原子核依靠庫侖力作用使它們同時繞彼此連線上某一點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動，記為模型Ⅱ．已知核外電子的質(zhì)量為m，氫原子核的質(zhì)量為M，二者相距為r，靜電力常量為k，電子和氫原子核的電荷量大小均為e．
（1）模型Ⅰ、Ⅱ中系統(tǒng)的總動能分別用EkⅠ、EkⅡ表示，請通過定量計(jì)算來比較EkⅠ、EkⅡ的大小關(guān)系；
（2）求模型Ⅰ、Ⅱ中核外電子做勻速圓周運(yùn)動的周期TⅠ和TⅡ；
（3）通常情況下氫原子的研究采用模型Ⅰ的方案，請分析這樣簡化處理的合理性．

Answer 1

【答案】
（1）解：模型Ⅰ中，設(shè)電子和原子核的速度分別為v對于電子繞核的運(yùn)動，根據(jù)庫侖定律和牛頓第二定律有：

解得：EkI= =

模型Ⅱ中，設(shè)電子和原子核的速度分別為v1、v2，電子的運(yùn)動半徑為r1，原子核的運(yùn)動半徑為r2．根據(jù)庫侖定律和牛頓第二定律

對電子有： ，

解得：

對于原子核有： ，

解得： =

系統(tǒng)的總動能：EkⅡ=Ek1+Ek2= =

即在這兩種模型中，系統(tǒng)的總動能相等．

答：EkⅠ、的大小為 ，EkⅡ的大小 ，兩種模型中，系統(tǒng)的總動能相等；

（2）模型Ⅰ中，根據(jù)庫侖定律和牛頓第二定律有：

解得：TI=

模型Ⅱ中，電子和原子核的周期相同，均為TⅡ

根據(jù)庫侖定律和牛頓第二定律

對電子有： ，

解得：r1=

對原子核有： ，

解得：r2=

因r1+r2=r，將以上兩式代入，可解得：TII=

答：模型Ⅰ、Ⅱ中核外電子做勻速圓周運(yùn)動的周期 和 ；

（3）所以有， =

因?yàn)镸＞＞m，可得TⅠ≈TⅡ，所以采用模型Ⅰ更簡單方便．

答：因?yàn)镸＞＞m，可得TⅠ≈TⅡ，所以采用模型Ⅰ更簡單方便．

【解析】（1）兩種模型中，核外電子都做勻速，圓周運(yùn)動。向心力都是由原子核和核外電子之間的庫侖力提供，根據(jù)向心力公式，結(jié)合動能公式聯(lián)立求解。
（2）兩種模型中庫侖力提供向心力，結(jié)合周期與向心力之間的公式，聯(lián)立求解即可。
（3）根據(jù)第二問的答案，分析求解即可。