Question

【題目】開普勒發現了行星運動的三大定律，分別是軌道定律、面積定律和周期定，這三大定律最 終使他贏得了“天空立法者”的美名，開普勒第一定律：所有行星繞太陽運動的軌道都是橢圓，太陽處在橢圓的一個焦點上。 開普勒第二定律：對任意一個行星來說，它與太陽的連線在相等的時間內掃過相等的面積 開普勒第三定律：所有行星的軌道的半長軸的三次方跟它的公轉周期的二次方的比值都相等即：

(1)若將行星繞太陽的運動視為勻速圓周運動，圓周運動半徑為 r，行星質量為 m 太陽質量為 M，如圖所示，請你結合開普勒定律、圓周運動、牛頓定律等知識，證明太陽之間的引力與它們之間的質量的乘積成正比，距離平方成反比即：F引

(2)如圖所示，人造地球衛星在 I 軌道做勻速圓周運動時，衛星距地面高度為 h=3R，R 為地球的半徑， 衛星質量為 m，地球表面的重力加速度為 g，橢圓軌道的長軸 PQ=10R。

①a．求衛星在 I 軌道運動時的速度大小；

b．根據開普勒第三定律，求衛星在Ⅱ軌道運動時的周期大小；

②在牛頓力學體系中，當兩個質量分別為 m1、m2 的質點相距為 r 時具有的勢能，稱為引力勢能，其大小為 EP= (規定無窮遠處勢能為零)衛星在 I 軌道的 P 點點火加速，變軌到Ⅱ軌道

a．根據開普勒第二定律，求衛星在橢圓軌道Ⅱ運動時，在近地點 P 與在遠地點 Q 的速率之比

b．衛星在 I 軌道的 P 點，變軌到Ⅱ軌道，求則至少需對衛星做多少功(不考慮衛星質量的變化和所受 的阻力)。

Answer 1

【答案】（1）證明過程見解析；（2）①a. ；b. ；②a.4:1；b.

【解析】

（1）行星做圓周運動的向心力等于行星與恒星之間的引力： ；

根據開普勒第三定律可知：，帶入可知： ；

根據牛頓第三定律可知，力的作用是相互的，可知 ；

綜合兩式可知： ；

（2）①a.根據萬有引力等于向心力可得： ，且GM=gR2，

解得；

b.根據，結合 GM=gR2，

解得；

根據開普勒第三定律可知： ，

解得；

②a．根據開普勒第二定律，衛星在橢圓軌道Ⅱ運動時， ，

則在近地點 P 與在遠地點 Q 的速率之比等于PQ兩點與地球連線的長度的倒數之比：

b.衛星在軌道Ⅱ上運動時機械能守恒，在最遠點和最近點滿足：

，

解得，

則衛星在 I 軌道的 P 點變軌到Ⅱ軌道至少需對衛星做功：