Question

【題目】質量未知的小球在豎直向上、大小為F的力作用下，豎直向上做勻速直線運動，速度大小為v0 ． 運動至位置A時，力突然增大到某值（方向仍向上），持續一段時間t后，力變為豎直向下，但仍保持某值大小不變，再持續同樣一段時間后，小球運動到B點．重力加速度大小為g，不計其他阻力．
（1）小球運動到B點時的速度；
（2）①求增大后力的大小；（已知不加外力時，小球以初速度v0做豎直上拋運動的最大高度恰好等于B、A兩點間距離的兩倍）；②為保證后來的力比原來的大，試給出相應的t和v0應滿足的條件．

Answer 1

【答案】
（1）解：設小球的質量為m，增大后的力為F′，根據題中條件可以判斷力F與重力方向相反；

對于勻速運動階段，有 F=mg…①

對于力突然增大后的第一段t時間，由牛頓第二定律得：F′﹣mg=ma1…②

對于力變為豎直向下的時間t內，由牛頓第二定律得：F′+mg=ma2 …③

由運動學公式，可得油滴在電場反向時的速度為：v1=v0+a1t ④

油滴在B的速度為：vB=v﹣a2t ⑤

聯立①至⑤式，可得：vB=v0﹣2gt；

答：小球運動到B點時的速度為v0﹣2gt；

（2）解：設無力時豎直上拋的最大高度為h，由運動學公式，有：v02=2gh…⑥

根據位移時間關系可得：v0t+ a1t2=x1…⑦

v1t﹣ a2t2=x2…⑧

小球的運動有兩種情況：

情況一：

位移之和 x1+x2= …⑨

聯立①、②、③、⑥、⑦、⑧、⑨可得：

F′=F+ （g+ ﹣ ）

由題意得 F′＞F，即滿足條件 g+ ﹣ ＞0，即當0＜t＜（1﹣ ） 或t＞（1+ ） 才是可能的；

情況二：

位移之和x1+x2=﹣ …⑩

聯立①、②、③、⑥、⑦、⑧、⑩可得：

F′=F+ （g﹣ ﹣ ）

由題意得E2＞E1，即滿足條件F′＞F，即滿足條件 g﹣ ﹣ ＞0，即當t＞（1+ ） ，另一解為負，不合題意，舍去．

答：增大后力的大小為F+ （g+ ﹣ ），t和v0應滿足的條件為0＜t＜（1﹣ ） 或t＞（1+ ） ；

或增大后力的大小為F+ （g﹣ ﹣ ），滿足的條件為t＞（1+ ） ．

【解析】（1）分析小球的運動過程，小球先向上做勻速直線運動，到達A處后因力突然增大而開始做勻加速直線運動，經過t后力突然反向，小球開始做勻減速直線運動，并可能在速度減為零后做反向的勻加速直線運動．對力增大后的兩個過程分別列出牛頓第二定律方程，即可求得兩個過程中的加速度，而t又是一個已知量，那么直接使用運動學公式即可求出小球運動到B點時的速度vB的大小；（2）因為小球最后可能做反向的勻加速直線運動，因此我們不能確定B點的位置究竟在A點上方還是A點下方，故需要分為兩種情況討論．對其中每一種情況，根據運動學公式列出方程，并與豎直上拋的方程進行聯立，即可分別求得兩種情況下的場強E2的大小；而根據題意，為求出t1與v0滿足的條件，只需要使E2＞E1即可，那么就可以最終求得t1與v0間的關系式．