Question

【題目】如圖所示，豎直平面內邊長為a的正方形ABCD是磁場的分界線，在正方形的四周及正方形區域內存在方向相反、磁感應強度的大小均為B的與豎直平面垂直的勻強磁場，M、N分別是邊AD、BC的中點．現有一質量為m、電荷量為q的帶正電粒子從M點沿MN方向射出，帶電粒子的重力不計．

（1）若在正方形區域內加一與磁場方向垂直的勻強電場，恰能使以初速度v0射出的帶電粒子沿MN直線運動到N點，求所加電場的電場強度的大小和方向．
（2）為使帶電粒子從M點射出后，在正方形區域內運動到達B點，則初速度v0應滿足什么條件？
（3）試求帶電粒子從M點到達N點所用時間的最小值，并求出此條件下粒子第一次回到M點的時間．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由題意可知，電場力與洛倫茲力平衡，

由平衡條件得：qE=qv0B，解得：E=Bv0，

因帶電粒子帶正電，則電場強度的方向豎直向下

（2）

解：此時，帶電粒子的運動軌跡如圖甲所示，

根據幾何關系得：R2=a2+（R﹣ ）2，解得R= a，

由牛頓第二定律得：qv0B=m ，解得：v0=

（3）

解：由題意可畫出帶電粒子的運動軌跡如圖乙所示，

可知，帶電粒子在兩磁場中的軌道半徑均為：r= a，

帶電粒子在正方形區域內的運動時間：t1= T，

在正方形區域外的運動時間：t2= T，

由牛頓第二定律得：qvB=m（ ）2r，解得：T= ，

故帶電粒子從M點到達N點所用時間的最小值：t=t1+t2= ，

畫出帶電粒子從N點繼續運動的軌跡如圖丙所示，知帶電粒子可以回到M點，

由對稱性，回到M點的時間為：t′=2T=

【解析】（1）由題意得電場力與洛倫茲力平衡即可求得電場強度；（2）畫出粒子運動的軌跡，根據幾何關系求得R與a之間的關系，然后由洛倫茲力提供向心力即可求得；（3）根據幾何關系求得r與a之間的關系，然后由洛倫茲力提供向心力即可求得粒子的速度，根據周期公式，結合軌跡求出各段的時間，最后求和即可．
【考點精析】認真審題，首先需要了解向心力(向心力總是指向圓心，產生向心加速度，向心力只改變線速度的方向，不改變速度的大小；向心力是根據力的效果命名的.在分析做圓周運動的質點受力情況時，千萬不可在物體受力之外再添加一個向心力)．