Question

【題目】有人提出了一種不用火箭發射人造地球衛星的設想．其設想如下：沿地球的一條弦挖一通道，如圖乙所示．在通道的兩個出口處A和B，分別將質量為M的物體和質量為m的待發射衛星同時自由釋放，只要M比m足夠大，碰撞后，質量為m的物體，即待發射的衛星就會從通道口B沖出通道．(已知地球表面的重力加速度為g，地球半徑為R0)

(1)如圖甲所示，一個質量為m的物體(可視為質點)在一個質量均勻分布的大球(半徑為R，密度為ρ)的內部距球心r處，那么m與大球之間的萬有引力就是F＝，式中M′是以r為半徑的球體的質量．試根據所給條件求出物體m所受到的萬有引力多大？

(2)如圖乙所示，是在地球上距地心h處沿一條弦挖了一條光滑的通道AB，從A點處靜止釋放一個質量為m的物體，物體下落到通道中點O′處的速度多大？

(3)如果在A處釋放一個質量很大的物體M，在B處同時釋放一個質量遠小于M的物體，同時達到O′處發生彈性正碰(由于大物體質量很大，可以認為碰后速度不變)，那么小物體返回從B飛出，為使飛出的速度達到地球的第一宇宙速度，h應為多大？

Answer 1

【答案】(1) F＝πGmr (2) v＝ (3)

【解析】

(1)M′＝πr3ρ，所以Fr＝πρGmr

(2)設地球的密度為ρ0，距O′為x處時，到地心的距離為r＝，所受地球的引力為F＝πρ0Gmr，其沿AB的分力為f＝Fsin θ，而sin θ＝，所以f＝πρ0Gmx，則f與到O′的距離x成正比，最大的fm＝πρ0Gm

最小的fmin＝0，所以關于f的功可以利用它的平均值進行計算．則f對物體做了正功，大小為：W＝fm＝πρ0Gm(R02－h2)

根據動能定理有：mv2＝W

所以達O′處的速度為：

又mg＝G，所以g＝πGρ0R0

所以W＝，v＝

(3)由題知，碰后小物體的速度為v′＝3v，根據動能定理有：－W＝mv12－mv′2

v1＝＝

所以