Question

（2008?江蘇模擬）有條船在水中航行時所受阻力與其速度的大小成正比，現在船由靜止開始沿直線航行．若保持牽引力恒定，經過時間t₁，后速度為v₁，加速度為a₁，牽引力功率為P₁，通過航程為s₁，最終以2v速度勻速運動；若保持牽引力的功率恒定，經過時間t₂后速度為v，加速度為a₂，牽引力功率為P₂，通過航程為s₂，最終也以2v速度勻速運動．則下列關系式正確的是（　　）

A．a₂=3a₁

B．t₁=3t₂

C．s₂=3s₁

D．P₂=3P_l

Answer 1

分析：1、以恒定牽引力啟動的物理過程：
根據牛頓第二定律可知由于F恒定，速度增大，所以加速度減小，故做加速度減小的加速運動．
又P=Fv，由于速度增大，所以功率增大．    
到t₁時刻，為v、a₁，當F=f=k?2v時，a=0，勻速2v，P=F?2v=4kv²．  
需要注意的是，雖然牽引力恒定，但船所受阻力跟速度成正比，故合外力是變力，不是勻變速運動．
2、以恒定功率啟動的物理過程：
根據牛頓第二定律a=

F-f

m

=

P v -f

m

，由于P恒定，速度增大，所以加速度減小，故做加速度減小的加速運動．
到t₂時刻，為v、a₂，當F′=f=k?2v時，a′=0，勻速2v，P′=F?2v=4kv²
故有最終功率相等．

解答：解：以恒定的牽引力啟動經過時間t₁時滿足方程：
F-kv=ma₁…①
以2v的速度作勻速運動時滿足方程：
F-k2v=0…②
由①②兩式可得：kv=ma₁…③
船以恒定的功率啟動經過時間t₂時，設牽引力為F′，則有：F′-kv=ma₂…④
設恒定功率為P，則有：P=F′v…⑤
由于功率一定，兩次最終也以2v的速度作勻速運動，勻速運動時滿足方程：P=F2v…⑥
由⑤⑥兩式得：F′=2F
代入④得：2F-kv=ma₂…⑦
將②代入上式得：3kv=ma₂…⑧
由③⑧兩式相比可得：a₂=3a₁                                                                
故A正確．
    關于時間的比較用v-t圖象加以分析比較方便．畫出兩船的v-t圖象，圖線的斜率等于其加速度，注意利用速度均為v時，a₂=3a₁；速度為2v時，均勻速運動，故得圖線如圖所示，圖中甲表示以恒定牽引力啟動，乙表示以恒定功率啟動．
　　由圖可知，開始階段，乙的加速度是甲的3倍，乙的速度增加比甲快，乙的位移大于甲，速度達到v時，從圖中很直觀看出t₁＞t₂，但是不能證明t₁=3t₂，同理也不能證明位移和功率的具體關系，只能求出大體大小關系，本題的正確答案應是A．
故選A．

點評：解決此類問題的關鍵是“三分析”--分析受力，根據牛頓運動定律確定運動性質；以加速度為橋梁，分析運動及其變化過程；分析收尾狀態，明確特征及其條件．對于變力作用下的運動過程處理（例如本題求由靜止啟動到最終勻速運動的位移和時間），因涉及微積分，中學只能用動能定理求解或圖象法求解．本題思維難度較大，屬于難題．