Question

一傳送帶裝置示意圖如圖2所示，其中傳送帶經過AB區域時是水平的，經過BC區域時變為圓弧形（圓弧由光滑模板形成），經過CD區域時是傾斜的，AB和CD都與BC相切.現將大量的質量均為m的小貨箱一個―個地在A處放到傳送帶上，放置時初速為零，經傳送帶運送到D處，D和A的高度差為h.穩定工作時傳送帶速度不變，CD段上各箱等距排列，相鄰兩箱的距離為L.每個箱子在A處投放后，在到達B之前已經相對于傳送帶靜止，且以后也不再滑動（忽略經BC段時的微小滑動）.已知在一段相當長的時間T內，共運送小貨箱的數目為N.這裝置由電動機帶動，傳送帶與輪子間無相對滑動，不計輪軸處的摩擦.求電動機的平均輸出功率P.

Answer 1

見分析
【試題分析】
【解析】  這是一道力學綜合題.在T時間內，電動機的輸出功和T的比值，就是電動機的平均輸出功率，即：P=.為此，解題的關鍵是求W.而電動機通過傳送帶做功的結果，增加了小貨箱的動能和重力勢能.因而有如下的解：
以地面為參考系（下同），設傳送帶的運動速度為v₀，在水平段運輸的過程中，小貨箱先在滑動摩擦力作用下做勻加速運動，設這段路程為x，所用時間為t，加速度為a，則對小箱有 x=at²，v₀=at
在這段時間內，傳送帶運動的路程為x₀=v₀t，由以上可得:  x₀=2x
用F_u表示小貨箱與傳送帶之間的滑動摩擦力，則傳送帶對小貨箱做功為 W₁=F_ux=m
在T時間內，電動機輸出的功為 W=PT
此功用于增加小貨箱的動能和重力勢能，即
W=Nm+Nmgh
已知相鄰兩小貨箱的距離為L，所以v■T=NL，解得
P=
上述解法看似分析透徹、準確、步驟規范，但存在一個非常典型的錯誤.究其原因還是在審題上.小貨箱在A處放到傳送帶上后，在摩擦力的作用下做勻加速運動，使其動能不斷增加，同時，傳送帶受到小貨箱的摩擦力作用，傳送帶克服小貨箱對它的摩擦力做功，其值為 W₀=F_ux₀=2×m
傳送帶對小貨箱做功和傳送帶克服小貨箱對它的摩擦力做功兩者之差，就是克服摩擦力做功發出的熱量，即Q=m.（上述解答卻恰恰忽視了這一點，造成錯解）
可見，在小貨箱加速運動過程中，小貨箱獲得的動能與發熱量相等.電動機通過傳送帶做功的結果，增加了小貨箱的動能、重力勢能以及克服摩擦力發熱的內能.即W=Nm+Nmgh+NQ（從能量守恒的角度考慮，就不致漏掉NQ）.
已知相鄰兩小貨箱的距離為L，所以v₀T=NL.
解得 P=