Question

一傳送帶裝置示意圖如圖，其中傳送帶經過AB區域時是水平的，經過BC區域時變為小圓弧形（圓弧由光滑模板形成，已畫出），經過CD區域時是傾斜的傾角是θ，AB和CD都與BC相切．現將大量的質量均為m的小貨箱一個一個在A處放到傳送帶上，放置時初速為零，經傳送帶運送到D處，D和A的高度差為h．穩定工作時傳送帶速度不變，CD段上各箱等距排列．每個箱子在A處投放后，在到達B之前已經相對于傳送帶靜止，（忽略經BC段時的微小滑動），斜面與箱子的摩擦因數μ（小于tanθ），要使箱子能達到D端．已知在一段相當長的時間T內，共運送小貨箱的數目為N．這裝置由電動機帶動，傳送帶與輪子間無相對滑動，不計輪軸處的摩擦．
①皮帶速度至少為多少
②求電動機至少的平均輸出功率P．

Answer 1

分析：本題涉實際生活、圖形信息和復雜情境，給人以無從下手的感覺．其實，本題條件是較明顯的，在題設情境下首先將小貨箱視為質點，然后分清小貨箱在傳送帶的運動過程，以及這些過程中涉及哪些能量的轉化．這樣將復雜涉實際情境的問題還原成了熟悉的典型運動問題．

解答：解：（1）小貨箱先在水平面上獲得與皮帶同速，在斜面上作勻減速直線運動至少到頂速度為0，距離為：s=

h

sinθ

，又v₀²=2as，
貨箱在斜面上作勻減速直線運動，加速度為：
a=gsinθ-μg cosθ
故皮帶速度至少為：V₀=

2h(gsinθ-μgcosθ) sinθ

（2）水平傳送帶上小貨箱作勻加速直線運動速度達v₀，由于相對傳送帶滑動，磨擦生熱機械能轉化為內能．設小貨箱勻加速運動時間為t、位移s、加速度為a，則有：s=

at2

2

，v₀=at．
傳送帶有：s₀=v₀t
傳送帶對小貨箱做功：fs=

1

2

m

v

2 0

故磨擦生熱：Q=fs相=f（s₀-s）=

1

2

m

v

2 0

；
小貨箱在水平加速階段，皮帶針對每一小貨箱克服摩擦力做功：W₁=2×

1

2

m

v

2 0

小貨箱在斜面上作勻減速直線運動至少到頂速度為0，距離為s=h/sinθ，有：v₀²=2a₂s，
則皮帶針對每一小貨箱要克服摩擦力做的功為W=2×

1

2

m

v

2 0

；
所以電機輸出功率用于每個小貨箱上共有W₁+W=2m

v

2 0

電機輸出功率用于N個小貨箱在水平面上加速克服摩擦，和小貨箱在斜面上運動時，克服摩擦做功
PT=2Nm

v

2 0

=2Nm

2h(gsinθ-μgcosθ)

sinθ

，
故P=

4Nmh(gsinθ-μgcosθ)

Tsinθ

答：①皮帶速度至少為

2h(gsinθ-μgcosθ) sinθ

②電動機的平均輸出功率至少為

4Nmh(gsinθ-μgcosθ)

Tsinθ

點評：題目看似很難，實際上是由一些簡單的題目綜合而成的，故在遇到難題時不要緊張，更不能放棄，要心平氣和的分析題目已知條件和求解之間的關系，從而最終解決問題．