Question

如圖甲，空間存在-范圍足夠大的垂直于xOy平面向外的勻強磁場，磁感應強度大小為B．讓質量為m，電量為q（q＞0）的粒子從坐標原點O沿xOy平面以不同的初速度大小和方向入射到該磁場中．不計重力和粒子間的影響．

（1）若粒子以初速度v₁沿y軸正向入射，恰好能經過x 軸上的A（a，0）點，求v₁的大小；
（2）已知一粒子的初速度大小為v（v＞v₁），為使該粒子能經過A（a，0）點，其入射角θ（粒子初速度與x軸正向的夾角）有幾個？并求出對應的sinθ值；
（3）如圖乙，若在此空間再加入沿y軸正向、大小為E的勻強電場，一粒子從O點以初速度v₀沿y軸正向發射．研究表明：粒子在xOy平面內做周期性運動，且在任一時刻，粒子速度的x分量v_x與其所在位置的y坐標成正比，比例系數與場強大小E無關．求該粒子運動過程中的最大速度值v_m．

Answer 1

分析：（1）根據所受洛倫茲力情況，畫出運動軌跡，求出去半徑大小，即可求出速度v₁的大小；
（2）根據運動軌跡，結合數學知識求解．
（3）熟練應用功能關系和數學知識進行求解．

解答：解：（1）根據運動軌跡可以求出半徑為：
r=

a

2

      ①
洛倫茲力提供向心力有：qvB=

mv2

r

      ②
聯立①②解得：v1=

qBa

2m

答：v₁的大小：v1=

qBa

2m

．
（2）根據題意可知：O、A兩點處于同一圓周上，且圓心在x=

a

2

的直線上，半徑為R．當給定一個初速度v時，有兩個入射角，分別在第1、2象限，有
有2個入射角，分別在第1、2象限．由此解得：sinθ=

aqB

2mv

．
答：其入射角θ（粒子初速度與x軸正向的夾角）有2個，sinθ=

aqB

2mv

．
（3）粒子在運動過程中僅有電場力做功，因此在軌道的最高點處速率最大，且此處速度方向水平．用y_m表示該處的縱坐標，有：
qEym=

1

2

m

v

2 m

-

1

2

m

v

2 0

…①；
由題意v_m=ky_m…②，
且k與E的大小無關，因此可利用E=0時的狀況來求k，E=0時洛倫茲力充當向心力，即
qv0B=m

v 2 0

R0

，得R0=

mv0

qB

，
其中的R₀就是對應的縱坐標y₀，因此得：
k=

qB

m

，此時帶入②得：
ym=

mvm

qB

，將此式帶入①，整理后可得：

v

2 m

-

2E

B

vm-

v

2 0

=0，解得：vm=

E

B

±

( E B )2+ v 2 0

，舍棄負值，得：
vm=

E

B

+

( E B )2+ v 2 0

答：vm=

E

B

+

( E B )2+ v 2 0

．

點評：本題考查了帶電粒子在磁場中的運動，是考查學生綜合應用物理和數學能力的好題．