Question

【題目】如圖所示，豎直平面內(nèi)邊長(zhǎng)為a的正方形ABCD是磁場(chǎng)的分界線，在正方形的四周及正方形區(qū)域內(nèi)存在方向相反、磁感應(yīng)強(qiáng)度大小均為B的與豎直平面垂直的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，M、N分別是邊AD、BC的中點(diǎn)．現(xiàn)有一質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子從M點(diǎn)沿MN方向射出，帶電粒子的重力不計(jì)．

(1)若在正方形區(qū)域內(nèi)加一與磁場(chǎng)方向垂直的勻強(qiáng)電場(chǎng)，恰使以初速度v0射出的帶電粒子沿MN直線運(yùn)動(dòng)到N點(diǎn)，求所加場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度的大小和方向．

(2)為使帶電粒子從M點(diǎn)射出后，在正方形區(qū)域內(nèi)運(yùn)動(dòng)到達(dá)B點(diǎn)，則初速度v1應(yīng)滿足什么條件？

(3)試求帶電粒子從M點(diǎn)到達(dá)N點(diǎn)所用時(shí)間的最小值，并求出此條件下粒子第一次回到M點(diǎn)的時(shí)間．

Answer 1

【答案】（1）Bv0 ，豎直向下；（2）；(3) ，；

【解析】

（1）由題意可知，電場(chǎng)力與洛倫茲力平衡，
由平衡條件得：qE=qv0B，解得：E=Bv0，
因帶電粒子帶正電，則電場(chǎng)強(qiáng)度的方向豎直向下；
（2）此時(shí)，帶電粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖甲所示，根據(jù)幾何關(guān)系得：R2=a2+（R-）2，

解得R=a，

由牛頓第二定律得：qv1B=m ，解得：v1=；
（3）由題意可畫(huà)出帶電粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖乙所示，可知，帶電粒子在兩磁場(chǎng)中的軌道半徑均為：r=a，
帶電粒子在正方形區(qū)域內(nèi)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間：t1=T，
在正方形區(qū)域外的運(yùn)動(dòng)時(shí)間：t2=T，
由牛頓第二定律得：qvB=m（）2r，解得： ，
故帶電粒子從M點(diǎn)到達(dá)N點(diǎn)所用時(shí)間的最小值：t=t1+t2=
畫(huà)出帶電粒子從N點(diǎn)繼續(xù)運(yùn)動(dòng)的軌跡如圖丙所示，知帶電粒子可以回到M點(diǎn)，
由對(duì)稱性，回到M點(diǎn)的時(shí)間為：t′=2T=；