Question

【題目】如圖所示，在水平線ab下方有一勻強電場，電場強度為E，方向豎直向下，ab的上方存在勻強磁場，磁感應強度為B，方向垂直紙面向里，磁場中有一內、外半徑分別為R、的半圓環形區域，兩半圓與ab的交點分別為M、N、C、D。一質量為m、電荷量為q的帶負電粒子在電場中P點靜止釋放，由M進入磁場，從N點第1次出磁場，不計粒子重力。

（1）求粒子從P到M所用的時間t；

（2）改變粒子靜止釋放位置（仍在線段PM上），要使粒子能夠到達C點，求釋放位置距M點的距離x；

（3）若粒子從與P同一水平線上的Q點水平射出，能由M進入磁場，始終在環形區域中運動，且所用的時間最少，求粒子在Q時速度的大小。

Answer 1

【答案】（1） （2） （3）

【解析】

（1）根據洛倫茲力提供向心力即可求出粒子到達M點的速度，然后結合動量定理即可求出粒子在電場中運動的時間；
（2）根據周期性結合幾何關系求解粒子的軌道半徑，從而找到速度關系式，根據動能定理求解釋放位置距M點的距離x.

由圓周運動的條件與臨界條件，求出粒子到達M的速度，然后由動能定理即可求出。

（1）設粒子在磁場中運動的速度大小為v，所受洛倫茲力提供向心力，有

設粒子在電場中運動所受電場力為F，有F=qE ；

設粒子在電場中運動的加速度為a，根據牛頓第二定律有F=ma ；

粒子在電場中做初速度為零的勻加速直線運動，有v=at；

聯立式得；

（2）考慮周期性，假設粒子在磁場中經過n的半圓到達C點，則 R-R=n2r

得：，又

得

根據動能定理： ，得 ，n=1,2,3,….

（3）粒子從M點進入勻強磁場后都從N點射出，當軌跡與內圓相切時，所用的時間最短，設粒子在磁場中的軌跡半徑為，由幾何關系可知

設粒子進入磁場時速度方向與ab的夾角為θ，即圓弧所對圓心角的一半，由幾何關系可知⑦；

粒子從Q射出后在電場中做類平拋運動，在電場方向上的分運動和從P釋放后的運動情況相同，所以粒子進入磁場時沿豎直方向的速度同樣為v，在垂直于電場方向的分速度始終為，由運動的合成和分解可知

得．