Question

【題目】如圖所示，兩根相距為L的光滑金屬導軌CD、EF固定在水平面內，并處在方向豎直向下的勻強磁場中，導軌足夠長且電阻不計。在導軌的左端接入一阻值為R的定值電阻，將質量為m、電阻可忽略不計的金屬棒MN垂直放置在導軌上。t=0時刻，MN棒與DE的距離為d，MN棒運動過程中始終與導軌垂直且接觸良好，不計空氣阻力。

（1）金屬棒MN以恒定速度v向右運動過程中

①若從t=0時刻起，所加的勻強磁場的磁感應強度B從B0開始逐漸減小時，恰好使回路中不產生感應電流，試從磁通量的角度分析磁感應強度B的大小隨時間t的變化規律；

②若所加勻強磁場的磁感應強度為B且保持不變，試從磁通量變化、電動勢的定義、自由電子的受力和運動、或功能關系等角度入手，選用兩種方法推導MN棒中產生的感應電動勢E的大小；

（2）為使回路DENM中產生正弦（或余弦）交變電流，請你展開“智慧的翅膀”，提出一種可行的設計方案，自設必要的物理量及符號，寫出感應電動勢瞬時值的表達式。

Answer 1

【答案】（1）①；②見解析；（2）見解析。

【解析】（1）①由產生感應電流的條件可知，回路中不產生感應電流，

則穿過回路的磁通量不變，

根據磁通量不變，應有 B0Ld = BL（d+vt）

解得 B=

②方法一：由法拉第電磁感應定律推導

經過時間Δt閉合回路的磁通量變化為Δφ=BLvΔt

根據法拉第電磁感應定律=BLv

方法二：利用電動勢的定義推導

電動勢定義為非靜電力把單位電荷量的正電荷在電源內從負極移送到正極所做的功，對應著其他形式的能轉化為電勢能的大小。這里的非靜電力為洛倫茲力（沿MN棒上的分力），洛倫茲力（沿MN棒上的分力）做正功，即：W非=（Bev）L

方法三：由導體棒中自由電子受力平衡推導

導體棒內的自由電子隨導體棒向右勻速運動的速度為v，受到的洛倫茲力大小為f=evB，方向向下，電子在棒下端聚焦，棒下端帶負電，棒的上端由于缺少電子而帶正電，MN間產生電壓，且電壓隨著自由電子向下移動而逐漸升高。

設MN間產生電壓為U，則MN中的電場強度

導體棒中的自由電子將受到向上的電場力F=E0e=eU/L

當F=f時，自由電子在沿導體棒MN的方向的受力達到平衡，由

可得穩定電壓為U=BLv

在內電阻為0時，路端電壓等于電動勢，因此動生電動勢大小為E=BLv

方法四：由能量守恒推導

當導體棒勻速運動時，其受到向右的恒定拉力和向左的安培力平衡，

則F外=BIL

拉力做功的功率：P外=F外v=BILv

閉合電路消耗的總功率： P電=EI

根據能量的轉化和守恒可知：P外= P電

可得到：E=BLv

（2）方案1：B不變化，金屬棒以初始位置為中心做簡諧運動，

即v=vmsint，

則根據法拉第電磁感應定律有：=B0Lv=B0Lvmsint

方案2：金屬棒不動，B隨時間正弦（或余弦）變化，

即B=Bmsint

，，

由求導數公式，

方案3：設桿初位置桿的中心為坐標原點，平行EF方向建立坐標軸x，平行ED方向建立y坐標，勻強磁場只分布在有限空間y=sinx內，如圖所示（圖中磁場分布只畫了一個周期）。磁感應強度大小均為B0，但磁場方向在有限的空間周期性方向相反。

金屬棒勻速向右運動過程中，位移x=vt

導棒切割產生瞬時電動勢：e=B0yv= B0vsinvt=Emsinvt

其他方案合理，均算正確。