Question

【題目】如圖所示為俯視圖，兩半徑均為的光滑半圓軌道PM、QN處于同一光滑水平面內(nèi)，兩半圓軌道剛好與直線PQ、MN相切于P、Q和M、N點(diǎn)。水平面上MF部分的虛線方框內(nèi)涂有粗糙介質(zhì)，滑塊與MF段材料間的動(dòng)摩擦因數(shù)為，該區(qū)城的寬度為，質(zhì)量均為的兩相同的滑塊A、B固定于直線MN上，它們不在AF區(qū)域，且A滑塊靠近F，AB之間夾有少量火藥，點(diǎn)燃爆炸后產(chǎn)生沿MN方向的速度，重力加速度g取。

（1）已知火藥點(diǎn)燃爆炸A、B分離后兩滑塊獲得的動(dòng)能均為，求B在Q點(diǎn)所受半圓軌道的彈力大小；

（2）若A、B兩滑塊獲得沿MN方向大小相等、方向相反的速度，若要求二者只能在MN間相碰，求的取值范圍。（結(jié)果可用根式表示）

Answer 1

【答案】（1） （2）

【解析】

（1）設(shè)A、B分離后獲得的速度大小分別為和，則由題意可得

解得

由下半軌道和水平面光滑，B在半圓軌道上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則B在Q點(diǎn)，由牛頓第二定律得

（2）由題意可知，A、B分開后，二者獲得的初速度為，設(shè)A能通過涂有粗糙材料的區(qū)域，則A通過涂有粗糙材料區(qū)域的最長(zhǎng)時(shí)間為

B運(yùn)動(dòng)到M處需要的時(shí)間，通過判斷可得，所以若A、B只能在M、N間相碰，則A必須在相碰前就停在M、F間；

A、B初速度大小相等，要滿足在涂有粗糙材料的區(qū)域相碰，則A至少應(yīng)運(yùn)動(dòng)到MF的中點(diǎn)（A、B相遇在中點(diǎn)）至多運(yùn)動(dòng)到M點(diǎn)AB相遇在M點(diǎn)

若停在M點(diǎn)，則由動(dòng)能定理有

解得

若A停在MF的中點(diǎn)，則由動(dòng)能定理有

解得

故的取值范圍為