Question

【題目】如圖，ABD為豎直平面內的軌道，其中AB段是水平粗糙的、 BD段為半徑R=0.4m的半圓光滑軌道，兩段軌道相切于B點。小球甲從C點以速度υ0沿水平軌道向右運動，與靜止在B點的小球乙發生彈性碰撞。已知甲、乙兩球的質量均為m，小球甲與AB段的動摩擦因數為μ=0.5，C、B距離L=1.6m，g取10m/s2。(水平軌道足夠長，甲、乙兩球可視為質點)

（1）甲乙兩球碰撞后，乙恰能通過軌道的最高點D，求乙在軌道上的首次落點到B點的距離；

（2）在滿足(1)的條件下，求的甲的速度υ0；

（3）若甲仍以速度υ0向右運動，增大甲的質量，保持乙的質量不變，求乙在軌道上的首次落點到B點的距離范圍。

Answer 1

【答案】（1）0.8 m（2）6m/s（3）0.8 m≤x'<3.2m

【解析】（1）設乙到達最高點的速度為vD，乙離開D點到達水平軌道的時間為t，乙的落點到B點的距離為x，乙恰能通過軌道最高點，則 ①

2R＝gt2②

x=vDt ③

聯立①②③得x=0.8 m④

（2）設碰撞后甲、乙的速度分別為v甲、v乙，根據動量守恒定律和機械能守恒定律有
⑤

⑥
聯立⑤⑥得 ⑦
對乙從B到D由動能定理得： ⑧
聯立①⑦⑧得VB= m/s⑨
甲從C到B由動能定理有：

解得：v0＝6m/s

（3）設甲的質量為M，碰撞后甲、乙的速度分別為vM、vm，根據動量守恒定律和機械能守恒定律有：MvB=MvM+mvm⑩
(11)
聯立得⑩(11)得 (12)
由M=m和M≥m，可得vB≤vm<2vB (13)
設乙球過D點時的速度為vD'，由動能定理得 (14)

聯立(13)(14)得2 m/s≤vD'<8 m/s (15)
設乙在水平軌道上的落點距B點的距離為x'，有x'=vD't (16)
聯立②(15)(16)得0.8 m≤x'<3.2m