Question

（12分）游樂場的過山車可以底朝上在圓軌道上運行，游客卻不會掉下來（如圖甲）。我們可以把它抽象成圖乙所示的由曲面軌道和圓軌道平滑連接的模型（不計摩擦和空氣阻力）。若質量為m的小球從曲面軌道上的P點由靜止開始下滑，并且可以順利通過半徑為R的圓軌道的最高點A。已知P點與B點的高度差h=3R，求：
（1）小球通過最低點B時速度有多大？
（2）小球通過B點時受到圓軌道支持力有多大？
（3）若小球在運動中需要考慮摩擦和空氣阻力，當小球從P點由靜止開始下滑，且剛好通過最高點A，則小球從P點運動到A點的過程中克服摩擦和空氣阻力所做的功為多少？

Answer 1

（1）
（2）F=7mg
（3）

（1）設小球通過B點的速度為v₁，根據機械能守恒定律：
                                              （2分）
解得：（用R和h表示均可）             （2分）
（2）設小球在B點受到軌道的支持力為F，由牛頓第二定律：
                                           （2分）
解得：F="7mg                                              " （1分）
（3）在考慮摩擦和空氣阻力情況下，當小球剛好通過A點時，由牛頓第二定律得
   故                                      （2分）
設小球從P點運動到A點的過程中，克服阻力做功為，由動能定理可得
                                             （2分）
所以                                           （1分）