Question

(20分)如圖所示，有n個相同的貨箱沿同一條直線停放在傾角為θ的斜面上，每個貨箱長皆為l，質量皆為m，相鄰兩貨箱間距離為l，最下端的貨箱到斜面底端的距離也為l．現給第1個貨箱一適當的初速度v₀，使之沿斜面下滑，在每次發生正碰后（碰撞時間很短），發生碰撞的貨箱都粘合在一起運動，當動摩擦因數為μ時，最后第n個貨箱恰好停在斜面底端．求：

(1)第一個貨箱碰撞第二個貨箱前瞬間的速度v₁；
(2)設第一次碰撞過程中系統損失的機械能為，第一次碰撞前的瞬間第一個貨箱的動能為，求的比值；
(3)整個過程中由于碰撞而損失的機械能．

Answer 1

（1）（2） （3）

（1）由于第個貨箱被碰后，運動到斜面底端停下，表明貨箱沿斜面做減速運動，設第一個貨箱的加速度為，由牛頓第二定律，得
 解得（3分）
又因為：             （2分）
得：（2分）
（2）第一，二兩貨箱碰撞過程中動量守恒，即
（2分）
上述過程中損失的機械能為（2分）
而（1分）
聯立以上各式，得（2分）
（3）加速度與質量無關，說明每次碰后貨箱沿斜面下滑的加速度大小均為，方向沿斜面向上．在整個過程中，序號為1，2，3，…，的貨箱沿斜面下滑的距離分別為nl，（n－1）l，（n－2）l，…，l，因此，除碰撞瞬間外，各貨箱由于滑動而產生的摩擦熱為
（2分）
貨箱的重力勢能的減少量為
（2分）
全過程中，由能量守恒定律，得
，   則
（2分）