Question

如圖甲所示，MN、PQ為水平放置的足夠長的平行光滑導軌，導軌間距L為0.5m，導軌左端連接一個2Ω的電阻R，將一根質量m為0.4kg的金屬棒c d垂直地放置導軌上，且與導軌接觸良好，金屬棒的電阻r大小為0.5Ω，導軌的電阻不計，整個裝置放在磁感強度B為1T的勻強磁場中，磁場方向垂直于導軌平面向下，現對金屬棒施加一水平向右的拉力F，使棒從靜止開始向右運動．當棒的速度達到1m/s時，拉力的功率為0.4w，此刻t=0開始計時并保持拉力的功率恒定，經一段時間金屬棒達到穩定速度，在該段時間內電流通過電阻R做的功為1.2J．試求：
（1）金屬棒的穩定速度；
（2）金屬棒從開始計時直至達到穩定速度所需的時間；
（3）在乙圖中畫出金屬棒所受拉力F隨時間t變化的大致圖象；
（4）從開始計時直至達到穩定速度過程中，金屬棒的最大加速度為多大？并證明流過金屬棒的最大電量不會超過2.0C．

Answer 1

分析：（1）在拉力的功率保持恒定后，金屬棒先做加速度減小的變加速運動，最后做勻速運動，達到穩定．由拉力和安培力平衡求出穩定時速度．
（2）拉力所做的功等于內能與動能的增加量，則由能量守恒可求得時間；拉力功率一定后，拉力和安培力對棒做功，拉力的功由W=Pt列出，由電阻R的電功求出總電功，由動能定理求出時間．
（3）當棒的速度達到1m/s時，拉力的功率為0.4w，此后外力功率恒定，速度繼續增大，根據P=Fv可知，外力F在逐漸減小，當安培力和外力F相等時，速度達到最大，之后做勻速直線運動，外力保持不變，
（3）由法拉第電磁感應定律可求得平均電動勢，則由Q=It可求得電量的最大值．

解答：解：（1）E=BLv，
I=

BLv

R+r

，
F_安=BIL=

B2L2v

R+r

當金屬棒達到穩定速度時，F_安=F_拉
F=

P

v

所以v²=

P(R+r)

B2L2

，代入數據得v=2m/s 
（2）由題意得：W_R=1.2J，
根據串聯電路中功率與電阻成正比得：Wr=0.3J，W_電=1.5J        
對金屬棒有動能定理得：Pt-W_電=

1

2

mv²-

1

2

mv₀²   
代入數據得 t=5.25s 
（3）當棒的速度達到1m/s時，拉力的功率為0.4w，此后外力功率恒定，速度繼續增大，根據P=Fv可知，外力F在逐漸減小，當安培力和外力F相等時，速度達到最大，之后做勻速直線運動，外力保持不變，由此作圖如圖所示：

（4）根據（3）分析作出速度圖象如圖所示

t=0時，由P=Fv得，外力F=

P

v

=

0.4

1

N=0.4N
此時合外力為F_合=0.4-

B2l2v0

R+r

=0.3N
由圖象可知t=0加速度最大
 由牛頓第二定律得：am=

F合

m

=0.75m/s2 
證明：由a=

△v

△t

得：
開始加速最短時間：△t=

△v

am

=

4

3

s
金屬棒的最大位移   S_m＜5.25×1+

(5.25+5.25-1.33)×1

2

=9.8m   
流過金屬棒的電量
Q＜

B△S

R+r

=

1×9.8×0.5

2+0.5

C=1.97C＜2.0C
答：（1）金屬棒的穩定速度2m/s；
（2）金屬棒從開始計時直至達到穩定速度所需的時間5.25s；
（3）在乙圖中畫出金屬棒所受拉力F隨時間t變化的大致圖象為：
；
（4）從開始計時直至達到穩定速度過程中，金屬棒的最大加速度為0.75m/s²．

點評：在電磁感應中，若為導體切割磁感線，則應使用E=BLV；若求電量應用法拉第電磁感應定律求平均電動勢；并要注意電磁感應中的能量關系．