Question

現(xiàn)有放置在豎直平面內(nèi)游戲滑軌的模擬裝置，如圖所示．滑軌由四部分粗細(xì)均勻的金屬桿組成，其中傾斜直軌AB與水平直軌CD長均為L=3m，圓弧形軌道APD和BQC均光滑，BQC的半徑為r=1m，APD的半徑為R=2m，AB、CD與兩圓弧形軌道相切，O₂A、O₁B與豎直方向的夾角均為θ=37°．現(xiàn)有一質(zhì)量為m=1kg的小環(huán)穿在滑軌上，以E_k0的初動能從B點開始沿BA向上運動，小環(huán)與兩段直軌道間的動摩擦因數(shù)均為μ=

1

3

，設(shè)小環(huán)經(jīng)過軌道連接處均無能量損失．（sin37°=0.6，cos37°=0.8）試求：
（1）小環(huán)在AB上從B點開始沿BA向上運動過程中，小環(huán)的加速度大小．
（2）要使小環(huán)完成一周運動回到B點，初動能E_K0至少多大？
（3）若小環(huán)以上問中的最小初動能E_K0從B點出發(fā)后，在CD段上運動的總路程．

Answer 1

分析：（1）對小環(huán)進(jìn)行受力分析即可求出小環(huán)的加速度大小；
（2）小環(huán)必須能夠通過APD的最高點，然后判斷從最高點下來后能否到達(dá)B點即可；
（3）對整個過程由動能定理即可求出在CD段上運動的總路程．

解答：解：（1）小環(huán)沿AB桿向上運動過程中有
ma=mgsinθ+μmgcosθ                          
帶入數(shù)值得：a=

26

3

m/s2≈8.67m/s²                           
（2）小環(huán)若要經(jīng)過大圓最高點，則有
E_KB=mg（2R-r-rcosθ）+μmgLcosθ                      
E_KB=30J
判斷小環(huán)初速為0從大圓環(huán)最高點左側(cè)下來能否再到達(dá)B點：
mg2R-mgμL-mg（r+rcosθ）＞0    
所以能再到B點
所以最小初動能E_K0=30J  
（3）小環(huán)第一次回到B點過程中，克服摩擦做功為：
W=μmgL+μmgLcosθ
W=18J                                              
小環(huán)第2次回到B的動能E_KB2=E_K0-W=12J         
設(shè)沿AB桿繼續(xù)上滑的最大距離為x，
E_KB2=mgxsinθ+μmgxcosθ
得：x=

18

13

m                                     
第3次經(jīng)過B的動能
E_KB3=E_KB2-2μmgxcosθ=

180

39

J                 
小球第2次到CD桿后，因能量小無法再運動到AB桿，因而
E_KB3+mgr（1+cosθ）=μmgs
得：S=6.78m
所以 S_總=L+S=9.78m     
答：（1）小環(huán)在AB上從B點開始沿BA向上運動過程中，小環(huán)的加速度大小為8.67m/s²，
（2）要使小環(huán)完成一周運動回到B點，初動能E_K0至少為30J，
（3）若小環(huán)以上問中的最小初動能E_K0從B點出發(fā)后，在CD段上運動的總路程為9.78m．

點評：此題比較綜合，涉及的運動學(xué)知識點比較多，這也是高考的趨勢，需要不斷加強此方面的練習(xí)．