Question

如圖所示，半徑為2R的圓弧軌道AB和半徑為R的圓弧軌道BC相切于B點，兩軌道置于豎直平面內，在C點的正上方有一厚度不計的旋轉平臺，沿平臺的一條直徑上開有兩個小孔P、Q，兩孔離軸心等距離，旋轉時兩孔均能到達C點正上方，平臺離C點的高度為R，質量為2m的小球1自A點由靜止開始下落，在B點與質量為m的2球作彈性碰撞，碰后2球過C點，且恰能無碰撞穿過小孔P.

（1）兩球第一次碰撞后2球的速度大小

（2）欲使2球能從小孔Q落下，則平臺的角速度w 應滿足什么條件？（不計所有阻力）

Answer 1

（1）設小球1在B點速度大小為則滿足：

2mg.2R=2mv₀²-0……….(1分)      得v₀＝＝2……….（1分）

兩球碰撞過程滿足動量守恒和能量守恒,設兩球碰后速度大小為v₂和v₃，則：

2m v₀＝2 m v₁＋m v₂……….(1分)

且2m v₀²＝2 m v₁²＋m v₂²……..(1分)

所以v₂＝4 v₀／3＝8／3  ………..(1分)

（2）對碰后B球上升至P的過程，由能量守恒：ks5u

m v₂²＝m v_P²+2mgR...................(1分)       v_P＝………………(1分)

而小球做豎直上拋的時間滿足：t＝2v_P／g＝……….(1分)

又因為t＝（2k＋1）p／w       （k＝0，1，2，3¼）…………………….(2分)

所以角速度w＝（2k＋1）p／t＝（2k＋1）p，（k＝0，1，2，3¼）…….(1分)

（3）要使2球在第二次碰撞后能到達BC弧的中點，設碰后2球的速度大小為，則由能量守恒得

     得……………..(1分)

（i）若兩球在B點第二次碰前速度都向左，設向左為正方向，則碰后2球速度方向可能向左，也可能向右。由動量守恒定律：

……………..(1分)

得                  或  

因為碰前系統能量為  而兩者碰后的能量不能超過碰前能量，代入數據可知，

只有    符合條件。……………..(2分)

（ii）若碰前1球速度向右，而2球速度向左，同樣設向左為正方向，由動量守恒定律可知：

 ……………..(1分)

代入數據可得  （因為碰后2球與1球速度同向，2球速度大于1球速度，故此解不符合題意，舍去。）……………..(1分)

 或      

 經檢驗，碰后兩者能量之和為，小于，故此解符合題意。……………..(1分)

綜上所述，碰后兩者速度可能為

    ks5u