Question

【題目】如圖所示為過山車簡易模型，它由光滑水平軌道和豎直面內的光滑圓形軌道組成，Q點為圓形軌道最低點，M點為最高點，圓形軌道半徑R＝0.32m.水平軌道PN右側的水平地面上，并排放置兩塊長木板c、d，兩木板間相互接觸但不粘連，長木板上表面與水平軌道PN平齊，木板c質量m3＝2.2kg，長L＝4m，木板d質量m4＝4.4kg.質量m2＝3.3kg的小滑塊b放置在軌道QN上，另一質量m1＝1.3kg的小滑塊a從P點以水平速度v0向右運動，沿圓形軌道運動一周后進入水平軌道與小滑塊b發生碰撞，碰撞時間極短且碰撞過程中無機械能損失.碰后a沿原路返回到M點時，對軌道壓力恰好為0.已知小滑塊b與兩塊長木板間動摩擦因數均為μ0＝0.16，重力加速度g＝10m/s2.

(1)求小滑塊a與小滑塊b碰撞后，a和b的速度大小v1和v2；

(2)若碰后滑塊b在木板c、d上滑動時，木板c、d均靜止不動，c、d與地面間的動摩擦因數μ至少多大？(木板c、d與地面間的動摩擦因數相同，最大靜摩擦力等于滑動摩擦力)

(3)若不計木板c、d與地面間的摩擦，碰后滑塊b最終恰好沒有離開木板d，求滑塊b在木板c上滑行的時間及木板d的長度.

Answer 1

【答案】(1)4m/s 5.2 m/s (2)0.069 (3)1s 1.4m

【解析】(1)根據題意可知：小滑塊a碰后返回到M點時：

m1＝m1g

小滑塊a碰后返回到M點過程中機械能守恒：

m1v＝m1v＋m1g(2R)

代入數據，解得：v1＝4m/s

取水平向右為正方向，小滑塊a、b碰撞前后：

動量守恒：m1v0＝－m1v1＋m2v2

機械能守恒：m1v＝m1v＋m2v

代入數據，解得：v0＝9.2m/s，v2＝5.2 m/s

(2)若b在d上滑動時d能靜止，則b在c上滑動時c和d一定能靜止

μ(m2＋m4)g>μ0m2g

解得μ>μ0≈0.069

(3)小滑塊b滑上長木板c時的加速度大小：

a1＝μ0g＝1.6m/s2

此時兩塊長木板的加速度大小：a2＝g＝0.8m/s2

令小滑塊b在長木板c上的滑行時間為t，則：

時間t內小滑塊b的位移x1＝v2t－a1t2

兩塊長木板的位移x2＝a2t2

且x1－x2＝L

解得：t1＝1s或t2＝s(舍去)

b剛離開長木板c時b的速度v2′＝v2－a1t1＝3.6m/s

b剛離開長木板c時d的速度v3＝a2t1＝0.8m/s

d的長度至少為x：

由動量守恒可知：m2v2′＋m4v3＝(m2＋m4)v

解得：v＝2m/s

μ0m2gx＝m2v2′2＋m4v－ (m2＋m4)v2

解得：x＝1.4m