Question

【題目】如圖所示，在水平軌道右側安放半徑為R的豎直圓槽形光滑軌道，水平軌道的PQ段鋪設特殊材料，調節其初始長度為l．水平軌道左側有一輕質彈簧左端固定，彈簧處于自然伸長狀態．小物塊A（可視為質點）從圓槽形軌道右側以初速度v0沖上軌道，通過圓槽形軌道．水平軌道后壓縮彈簧并被彈簧以原速率彈回，經水平軌道返回圓槽形軌道，己知R=0.2m，l=1.0m，v0=3m/s，物塊A的質量為m=1kg，與PQ段間的動摩擦因數為μ=0.2，．軌道其他部分的摩擦不計，取g=lm/s2。

（1）求物塊A與彈簧剛接觸時的速度大小；

（2）求物塊A被彈簧以原速率彈回返回到圓槽形軌道的高度；

（3）調節PQ段的長度l，A以v'=2m/s的初速從軌道右側沖上軌道，求當l滿足什么條件時，物塊A能第一次返回圓槽形軌道且能沿軌道運動而不會脫離軌道。

Answer 1

【答案】（1）物塊A與彈簧剛接觸時的速度大小為m/s。

（2）物塊A被彈簧以原速率彈回返回到圓槽形軌道的高度為0.05m`；

（3）當l滿足條件：1.0m≤l<1.5m或l≤0.25m時，物塊A能第一次返回圓槽形軌道且能沿軌道運動而不會脫離軌道.

【解析】（1）物塊A從開始運動到與彈簧剛接觸的過程中，由動能定理得：-μmgl=mv12-mv02，
解得：v1=m/s；
（2）A被彈簧以原速率v1彈回，向右經過PQ段，由動能定理得：-μmgl=mv22-mv12，
解得：v2=1m/s，
假設A恰好能到達圓形軌道的最高點，在最高點，由牛頓第二定律得：mg=m，
解得：v=m/s，
A要能達到圓形軌道的最高點，在水平軌道上的最小速度為v′，由動能定理得：

-mg2R=mv2-mv′2，
解得：v′=m/s＞v2，
則A不能到達圓形軌道的最高點，設A能到達的最大高度為h，由動能定理得：