Question

如圖所示，在豎直向下的勻強電場中有一絕緣的光滑離心軌道，一個帶負電的小球從斜軌道上的A點由靜止釋放，沿軌道滑下，已知小球的質量為m=1kg，電量大小為q=6×10^-4C，勻強電場的場強大小為E=1×10⁴N/C，斜軌道的傾角為α=30°，圓軌道半徑R=0.8m，（小球的重力大于所受的電場力g=10m/s²）．
（1）求小球沿斜軌道下滑的加速度的大小；
（2）若使小球通過半徑為R的圓軌道頂端的B點時不落下來，求A點距水平地面的高度h至少應為多大？
（3）若小球從斜軌道h=5R 處由靜止釋放，假設能夠通過B點，求在此過程中小球機械能的改變量．

Answer 1

分析：需對小球受力分析，求出合力，利用牛頓第二定律求加速度；利用小球在圓軌道頂端的B點時不落下來的臨界條件和動能定理求高度；利用功能關系求機械能的該變量．

解答：解：（1）以小球為研究對象，受到豎直向下的重力、豎直向上的電場力和垂直接觸面的彈力．沿斜面向下的合力為F_合=（mg-qE）sin30°…①
根據牛頓第二定律得：F_合=ma…②
聯立①②代入數據解之得：a=2m/s²
（2）小球通過半徑為R的圓軌道頂端的B點時不落下來，設在B點的速度為v_B，根據牛頓第二定律得：（mg-qE）=

mv 2 B

R

…③
小球由A到B，據動能定理：：（mg-qE）（h-2R）=

1

2

m

v

2 B

…④
聯立③④代入數據解之得：h=2m
（3）小球從靜止開始沿軌道運動到B點的過程中，機械能的變化量為△E_機
根據功能關系：△E_機=W_電…⑤
小球從靜止開始沿軌道運動到B點的過程：W_電 =-3REq…⑥
聯立⑤⑥代入數據解之得：△E_機=-14.4J
答：（1）小球沿斜軌道下滑的加速度的大小為2m/s²，（2）A點距水平地面的高度h至少應2m．（3）在此過程中小球機械能的改變量為-14.4J．

點評：此題是帶電物體在電場運動和圓周運動的結合，挖掘圓周運動的臨界條件和利用好功能關系是解題的關鍵，即在B點重力和電場力的合力提供向心力，電場力做功就等于機械能的該變量．