Question

【題目】在科學研究中，可以通過施加適當的電場和磁場來實現對帶電粒子運動的控制．如圖所示的xOy平面處于勻強電場和勻強磁場中，電場強度E和磁感應強度B隨時間t做周期性變化的圖象如圖所示．x 軸正方向為E的正方向，垂直紙面向里為B的正方向．在坐標原點O有一粒子P，其質量和電荷量分別為m和+q.不計重力．在t=時刻釋放P，它恰能沿一定軌道做往復運動．

（1）求P在磁場中運動時速度的大小v0；

（2）求B0應滿足的關系；

（3）在t0（0＜t0＜）時刻釋放P，求P速度為零時的坐標．

Answer 1

【答案】（1）（2），（n=1，2，3……）

（3）.

【解析】

（1）對比題圖可知：隨著時間的變化，電場和磁場是交替產生的，有磁場前，粒子受到恒定的電場力，做勻加速直線運動．由勻變速直線運動的速度公式v=at即可求解，要注意粒子從t=才開始運動．（2）要求B0應滿足的關系，首先需抓住題中的關鍵語：“恰能沿一定軌道做往復運動”，從而實現對本題解答的切入，然后分析粒子會做τ時間的勻速圓周運動，要想往復，則2τ時刻粒子的速度方向正好沿x軸負方向．要注意粒子做圓周運動的重復性，洛倫茲力提供向心力等．（3）從t0滿足0＜t＜時刻釋放，粒子將會在電場力的作用下勻加速τ-t0的時間，并以速度進入磁場，在根據對稱性，找到速度為零的時刻，再根據數學的知識找到其坐標即可．

解：（1）～τ時間段內做勻加速直線運動，τ～2τ時間段內做勻速圓周運動

電場力F=qE0，加速度a=，速度v0=at，其中t=，解得v0=.

（2）只有當t=2τ時，P在磁場中做圓周運動結束并開始沿x軸負方向運動，才能沿一定軌道做往復運動，如圖所示．

設P在磁場中做圓周運動的周期為T，則，（n=1，2，3……）

勻速圓周運動，

解得，（n=1，2，3……）

（3）在t0時刻釋放，P在電場中加速時間為τ-t0，在磁場中做勻速圓周運動，

圓周運動的半徑，解得

又經τ-t0時間P減速為零后向右加速時間為t0，P再進入磁場，圓周運動的半徑，解得

綜上分析，速度為零時橫坐標x=0，相應的縱坐標為

y=或2k（r1-r2），（k=1，2，3……）

解得y=或，（k=1，2，3……）