Question

【題目】如圖所示，一個質量為m=1kg的小球拴在長為L=1m的細線上做成一個單擺，把小球從平衡位置O拉至A，使細線與豎直方向成θ=37度角，然后輕輕釋放，不計一切阻力，如果從開始到第一次運動到O點的時間為0.2s, 求：

（1）釋放后小球運動到P點正下方時的速度大小？此過程中細線的拉力對小球的沖量大小是多少？

（2）若在懸點O′的正下方有一顆釘子P，釘子位置離懸點O’點的距離為h，則h在什么范圍內才能使小球繞釘子來回擺動?

（3） h滿足什么條件可使小球繞釘做圓周運動？

Answer 1

【答案】（1）2m/s，4N.s（2）0≤h≤0.8m（3）0.92m≤h′≤1.0m

【解析】

釋放后小球運動到P點正下方，由機械能都守恒求出小球運動到P點正下方時的速度大小，根據動量定理可得細線的拉力對小球的沖量大小；小球繞釘來回擺動時，只能擺到跟開始位置A等高的地方，釘子P的位置范圍只能在過A點的水平線與豎直線OO′的交點上方；小球繞釘子恰好能在豎直平面內做圓周運動，在最高點時由重力提供向心力，根據牛頓第二定律列式求出小球通過最高點的臨界速度，再由機械能守恒定律列式求出h，從而得到h的范圍；

解：(1)釋放后小球運動到P點正下方，小球的機械能都守恒，則有：

解得：

根據動量定理可得：

細線的拉力對小球的沖量大小：

(2)小球繞釘來回擺動時，只能擺到跟開始位置A等高的地方，釘子P的位置范圍只能在過A點的水平線與豎直線OO′的交點上方(如圖a)，即釘子離懸點O′的距離h應滿足條件，即

(3)設釘子在位置時剛好使小球能繞釘做圓周運動，圓半徑，設小球在最高點C的速度為vC，并規定最低處為重力勢能的零位置(如圖b)，由A、C兩位置時的機械能守恒，即

剛好能越過C點做圓周運動，即

解得：

所以釘子離懸點的距離

所以，能繞釘做圓周運動時釘子離懸點的距離離應滿足條件：