Question

一質(zhì)量為m的很小的球，系于長(zhǎng)為R的輕繩的一端，繩的另一端固定在空間的O點(diǎn)，假定繩是不可伸長(zhǎng)的、柔軟且無(wú)彈性的．今把小球從O點(diǎn)的正上方離O點(diǎn)的距離為

8

9

R的O₁點(diǎn)以水平的速度V0=

3

4

gR

拋出，如圖所示．以O(shè)點(diǎn)為零勢(shì)能面，試求：
（1）小球在O₁點(diǎn)的機(jī)械能為多大？
（2）輕繩剛伸直（繩子突然拉緊會(huì)使平行于繩子的速度突變?yōu)榱悖�時(shí)，繩與豎直方向的夾角θ為多少？
（3）當(dāng)小球到達(dá)O點(diǎn)的正下方時(shí)，所受的合外力是多大？

Answer 1

（1）小球在O₁點(diǎn)的機(jī)械能等于該點(diǎn)的動(dòng)能加重力勢(shì)能，即E=

1

2

m

V

20

+mg

8

9

R=

377gR

288

．
（2）第一過(guò)程：質(zhì)點(diǎn)做平拋運(yùn)動(dòng)．設(shè)繩即將伸直時(shí)，繩與豎直方向的夾角為θ，如圖所示則V₀t=Rsinθ，

1

2

gt2=

8

9

R-Rcosθ，其中V0=

3

4

gR

聯(lián)立解得θ=

π

2

，t=

4

3

R g

．
（3）繩繃直過(guò)程．繩棚直時(shí)，繩剛好水平，如圖所示，由于繩不可伸長(zhǎng)，故繩繃直時(shí)，V₀損失，質(zhì)點(diǎn)僅有速度V_⊥，且V⊥=gt=

4

3

gR

．
小球在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)．設(shè)質(zhì)點(diǎn)到達(dá)O點(diǎn)正下方時(shí)，速度為V′，根據(jù)機(jī)械能守恒守律有：

1

2

mV/2=

1

2

mV⊥2+mg?R
設(shè)最低點(diǎn)合外力為F，則F=m

V/2

R

，聯(lián)立解得：F=

43

9

mg
答：（1）小球在O₁點(diǎn)的機(jī)械能為

377gR

288

；
（2）輕繩剛伸直（繩子突然拉緊會(huì)使平行于繩子的速度突變?yōu)榱悖�時(shí)，繩與豎直方向的夾角θ為

π

2

；
（3）當(dāng)小球到達(dá)O點(diǎn)的正下方時(shí)，所受的合外力是

43

9

mg．