Question

一質量為m的很小的球，系于長為R的輕繩的一端，繩的另一端固定在空間的O點，假定繩是不可伸長的、柔軟且無彈性的．今把小球從O點的正上方離O點的距離為

8

9

R的O₁點以水平的速度V0=

3

4

gR

拋出，如圖所示．以O點為零勢能面，試求：
（1）小球在O₁點的機械能為多大？
（2）輕繩剛伸直（繩子突然拉緊會使平行于繩子的速度突變為零）時，繩與豎直方向的夾角θ為多少？
（3）當小球到達O點的正下方時，所受的合外力是多大？

Answer 1

分析：（1）小球在O₁點的機械能等于該點的動能加重力勢能；
（2）先將平拋運動沿水平和豎直方向正交分解，根據位移公式列式求解；
（3）細線剛剛繃緊時，將速度沿著細線方向和處置細線方向正交分解，沿細線方向速度迅速減小為零，垂直細線方向速度不變，之后物體繞O點做變速圓周運動，機械能守恒，先求出最低點速度，再根據向心力公式求解合力．

解答：解：（1）小球在O₁點的機械能等于該點的動能加重力勢能，即E=

1

2

m

V

2 0

+mg

8

9

R=

377gR

288

．
（2）第一過程：質點做平拋運動．設繩即將伸直時，繩與豎直方向的夾角為θ，如圖所示則V₀t=Rsinθ，

1

2

gt2=

8

9

R-Rcosθ，其中V0=

3

4

gR

聯立解得θ=

π

2

，t=

4

3

R g

．
（3）繩繃直過程．繩棚直時，繩剛好水平，如圖所示，由于繩不可伸長，故繩繃直時，V₀損失，質點僅有速度V_⊥，且V⊥=gt=

4

3

gR

．
小球在豎直平面內做圓周運動．設質點到達O點正下方時，速度為V′，根據機械能守恒守律有：

1

2

mV/2=

1

2

mV⊥2+mg?R
設最低點合外力為F，則F=m

V/2

R

，聯立解得：F=

43

9

mg
答：（1）小球在O₁點的機械能為

377gR

288

；
（2）輕繩剛伸直（繩子突然拉緊會使平行于繩子的速度突變為零）時，繩與豎直方向的夾角θ為

π

2

；
（3）當小球到達O點的正下方時，所受的合外力是

43

9

mg．

點評：本題關鍵是將小球的運動分為三個過程進行分析討論，平拋運動過程、突然繃緊的瞬時過程和變速圓周運動過程；然后根據對各段運用平拋運動位移公式、速度分解法則、機械能守恒定律和向心力公式列式求解．