Question

【題目】如圖所示，為了研究帶電粒子在電場和磁場中的運動，在空間中建立一平面直角坐標系xOy，在0<_y<5l的區域內存在垂直紙面向里的勻強磁場，在x>0且y<0的區域內存在沿y軸正方向的勻強電場，在y軸的正半軸上固定著一個長為l的彈性絕緣擋板，擋板上端位于Q點，下端與坐標原點O重合．有一質量為m，電荷量為q的帶正電的粒子甲從電場中的M點由靜止釋放，加速后以大小為v的速度從x軸上的P點進入磁場．當粒子甲剛進人磁場時，位于M點正下方的N點，有一質量為m，電荷量為1.5q的帶正電的粒子乙由靜止 釋放，經過t0=時間加速后也從P點進入磁場．已知甲、乙兩粒子在磁場中運動軌跡重合，均垂直打在彈性擋板上的Q點并以原速率彈回，不考慮粒子與擋板發生碰撞所需的時間，不計粒子重力．

(1)求磁場的磁感應強度大小B；

(2)求M、P兩點和N、P兩點間的距離y1和y2；

(3)若粒子乙與彈性擋板相碰時，立即撤去磁場，并經過時間t恢復原磁場，要使此后兩粒子一直在磁場中運動但不能經過同一位置，求時間t的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1) (2)；(3)

【解析】

解：(1)由于兩粒子均垂直x軸進入磁場且垂直打在彈性擋板上，由幾何關系可知，兩粒子在磁場中做勻速圓周運動的半徑r=l

對于粒子甲在磁場中的運動，有

解得：

(2)設粒子乙進入磁場時的速率為v′，電場區域中電場強度的大小為E，對于粒子乙在磁場中的運動，有：

得：

由運動學規律可得：

粒子甲從M點運動到P點的過程中，由動能定理得：

粒子乙從N點運動到P點的過程中，由動能定理得：

聯立上述兩式可得：

(3)粒子甲進入磁場后經過時間繞圓心O轉過的角度：

即粒子乙到達P點時，粒子甲恰好打在Q點上，

粒子乙從P點運動到Q點用時：

在時間t1內，粒子甲繞圓心Q1轉過的角度：

設磁場撤去時，粒子甲位于C點，即，此后兩粒子均做勻速直線運動；

若磁場恢復后，兩粒子運動軌跡恰好相切于G點，如圖1所示：

設粒子甲、乙運動軌跡的圓心分別為O2、O3，磁場恢復時粒子甲、乙分別位于F、D兩點上，

由幾何關系可知，線段O1O3與x軸平行，四邊形O1O2FC為矩形，

在△O1O2O3中，由余弦定理得：

解得：

若磁場恢復后，粒子甲的運動軌跡恰好與磁場上邊界相切于H點，如圖2所示：

設粒子甲、乙運動軌跡的圓心分別為O2′、O3′，磁場恢復時粒子甲、乙分別位于F′、D′兩點上，過點O2′作O2′I垂直O1O3′于點I，由幾何關系可知

由圖2可知：

解得：

綜上所述，時間t的取值范圍為：