Question

如圖所示，粗糙的斜面AB下端與光滑的圓弧軌道BCD相切于B，整個裝置豎直放置，C是最低點，圓心角∠BOC=37°，D與圓心O等高，圓弧軌道半徑R=0.5m，斜面長L=3m，現有一個質量m=0.1kg的小物塊P從斜面AB上端A點無初速下滑，物體P與斜面AB之間的動摩擦因數為μ=0.25．取sin37°=0.6，cos37°=0.8，重力加速度g=10m/s²．求：
（1）物塊P第一次通過C點時的速度大小和在C點處對軌道的壓力；
（2）物塊P經過D點的次數．

Answer 1

分析：（1）對A到C的過程運用動能定理，求出物塊第一次通過C點的速度大小，根據牛頓第二定律求出支持力的大小，從而得出在C點對軌道的壓力．
（2）根據動能定理求出通過B點速度的通項表達式，若物塊不能到達D點，則在B點的動能小于CD間的重力勢能之差，結合該關系求出物塊P經過D點的次數．

解答：解：（1）物塊P從A下滑經B到C過程中根據動能定理：

1

2

m

v

2 C

=mgLsin37°+mgR(1-cos37°)-μmgcos37°?L
解得vC=

2gL(sin37°-μcos37°)+2gR(1-cos37°)

代入數據得，vC=

26

m/s
又因為：m

v 2 C

R

=FC-mg
FC=m

v 2 C

R

+mg=6.2N
由牛頓第三定律知，對C處的壓力F_C′=F_C=6.2N．
（2）第一次過B點向下的速度v_B1，第一次返回B點向上的速度大小也為v_B1，沖至最高點A₁，設A₁至B的距離為L₁
A 至 B：mgLsin37°-μmgcos37°?L=

1

2

m

v

2 B1

B至A₁：-mgL1sin37°-μmgcos37°?L1=0-

1

2

m

v

2 B1

得：L1=

sin37°-μcos37°

sin37°+μcos37°

L．
同理，第n次返回最高處A_n時，A_nB的距離L_n
Ln=(

sin37°-μcos37°

sin37°+μcos37°

)nL=

1

2n

L
第n次向下過B點的速度v_Bn
從A_n-1至B：mgLn-1?sin37°-μmgcos37°?Ln-1=

1

2

m

v

2 Bn

得：vBn=

2g(sin37°-μcos37°)Ln-1

假設物塊以v_Bn向下過B點后不能到達D，則有：

1

2

m

v

2 Bn

＜mgRcos37°
得L_n-1＜1
即

1

2n-1

L＜1，顯然n取3、4、5…，滑塊不能達到D點
也即當n取2時，滑塊能過D點，所以，滑塊共經過D點4次． 
答：（1）物塊P第一次通過C點時的速度大小為

26

m/s．在C點處對軌道的壓力為6.2N．
（2）物塊P經過D點的次數為4次．

點評：解決本題的關鍵理清物塊的運動過程，結合動能定理進行求解，本題對數學能力的要求較高，知道物塊不能到達D點的條件，結合數學知識進行求解．