Question

如圖所示，AB和CDO都是處于豎直平面內的光滑圓弧形軌道，OA處于水平位置．AB是半徑為R=2m的

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圓周軌道，CDO是半徑為r=1m的半圓軌道，最高點O處固定一個豎直彈性檔板．D為CDO軌道的中央點．BC段是水平粗糙軌道，與圓弧形軌道平滑連接．已知BC段水平軌道長L=2m，與小球之間的動摩擦因數μ=0.4．現讓一個質量為m=1kg的小球P從A點的正上方距水平線OA高H處自由落下．（取g=10m/s²）
（1）當H=1.4m時，問此球第一次到達D點對軌道的壓力大�。�
（2）當H=1.4m時，試通過計算判斷此球是否會脫離CDO軌道．如果會脫離軌道，求脫離前球在水平軌道經過的路程．如果不會脫離軌道，求靜止前球在水平軌道經過的路程．

Answer 1

（1）設小球第一次到達D的速度V_D，P到D點的過程對小球根據動能定理列式，有：
mg（H+r）-μmgL=

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mV_D²
在D點對小球列牛頓第二定律：F_N=m

v 2D

r

聯立解得：F_N=32N
（2）第一次來到O點，速度V₁
P到O點的過程對小球根據動能定理列式，有：
mgH-μmgL=

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2

mV₁²
解得：V₁²=12
要能通過O點，須mg＜m

v2

r

臨界速度V_O²=10
故第一次來到O點之前沒有脫離，第二次來到D點是沿著原路返回，設第三次來到D點的動能E_K
對之前的過程根據動能定理列式，有：
mg（H+r）-3μmgL=E_K
代入解得：E_K=0
故小球一直沒有脫離CDO軌道
設此球靜止前在水平軌道經過的路程S
對全過程根據動能定理列式，有：
mg（H+R）-μmgS=0
解得：S=8.5m
答：（1）當H=1.4m時，此球第一次到達D點對軌道的壓力大小為32N．（2）當H=1.4m時，此球不會脫離CDO軌道，靜止前球在水平軌道經過的路程為8.5m．