Question

一傳送帶裝置示意圖如圖3，其中傳送帶經過AB區域時是水平的，經過BC區域時變為圓弧形(圓弧由光滑模板組成,未畫出),經過CD區域時是傾斜的，AB和CD都與BC相切.現將大量的質量均為m的小貨箱一個一個在A處放到傳送帶上，放置時初速為零，經傳送帶運送到D處，D和A的高度差為h.穩定工作時傳送帶速度不變，CD段上各箱以相等間距排列，相鄰兩箱的距離為L.每個箱子在A處投放后，在到達B之前已經相對于傳送帶靜止，且以后也不再滑動(忽略經BC段時的微小滑動).已知在一段相當長的時間T內，共運送小貨箱的數目為N.此裝置由電動機帶動，傳送帶與輪子間無相對滑動.不計輪軸處的摩擦.求電動機的平均功率.

圖3

Answer 1

解析：在傳送穩定情況下，在一定時間內將一定數量的小貨箱從A端送到D端，在傳送過程中，小貨箱的動能和重力勢能都增加了一定的數值.另外在水平的AB部分，小貨箱與皮帶等速前要發生一段相對位移，通過摩擦力做功而產生一定數量的內能.由功能關系知上述能量的增加和產生，都是電動機做功的結果.求出單位時間產生的內能和小貨箱動能、重力勢能增量的總和，即為電動機的輸出功率.

以地面為參考系.設傳送帶的運動速度為v₀.在水平段運輸的過程中，小貨箱先在滑動摩擦力作用下做勻加速運動，設這段路程為s,加速度為a，所用時間為t,對小貨箱有：

s=at²/2,v₀=at.在這段時間內，傳送帶運動的路程為：s₀=v₀t由以上可得s₀=2s

用F表示小貨箱與傳送帶之間的滑動摩擦力，則傳送帶對小貨箱做功為

傳送帶克服小貨箱對它的摩擦力做功

兩者之差就是克服摩擦力做功放出的熱量Q=mv₀²

可見，在小貨箱加速運動過程中，小箱獲得的動能與發熱量相等.T時間內，電動機輸出的功為W=PT，此功用于增加小貨箱的動能、勢能及克服摩擦力發熱，即

W=Nmv₀²+Nmgh+NQ

已知相鄰N個小貨箱的距離為L，所以v₀T=NL

得電動機的平均功率：P=NmT(N²L²T²+gh).

答案：