Question

在某平面上有一半徑為R的圓形區(qū)域，區(qū)域內(nèi)外均有垂直于該平面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，圓外磁場(chǎng)范圍足夠大，已知兩部分磁場(chǎng)方向相反且磁感應(yīng)強(qiáng)度都為B，方向如圖所示。現(xiàn)在圓形區(qū)域的邊界上的A點(diǎn)有一個(gè)電量為，質(zhì)量為的帶電粒子以沿半徑且垂直于磁場(chǎng)方向向圓外的速度經(jīng)過(guò)該圓形邊界，已知該粒子只受到磁場(chǎng)對(duì)它的作用力。
  
小題1:若粒子在其與圓心O連線旋轉(zhuǎn)一周時(shí)恰好能回到A點(diǎn)，試救濟(jì) 粒子運(yùn)動(dòng)速度V的可能值。
小題2:在粒子恰能回到A點(diǎn)的情況下，求該粒子回到A點(diǎn)所需的最短時(shí)間。

Answer 1

小題1:粒子運(yùn)動(dòng)的半徑為r
       BqV=m
       r=        ①（2分）
如圖，

O₁為粒子運(yùn)動(dòng)的第一段圓弧AB的圓心，
O₂為粒子運(yùn)動(dòng)的第二段圓弧BC的圓心，
根據(jù)幾何關(guān)系可知
tanθ=       ②（3分）
∠AOB=∠BOC=2θ
如果粒子回到A點(diǎn)，則必有
n˙2θ=2π，n取正整數(shù)     ③（2分）
由①②③可得
V=              （3分）
考慮到θ為銳角，即0<θ<，根據(jù)③可得
n≥3 （2分）
故V=，（n=3，4，5……）    （2分）
小題2:粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的周期
  T=                  （2分）
因?yàn)榱Ｗ用看卧趫A形區(qū)域外運(yùn)動(dòng)的時(shí)間和圓形區(qū)域內(nèi)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間互補(bǔ)為一個(gè)周期T，所以粒子穿越圓形邊界的次數(shù)越少，所花時(shí)間就越短，因此取
n=3
代入到③可得
θ=                    （3分）
而粒子在圓形區(qū)域外運(yùn)動(dòng)的圓弧的圓心角為α
α=2π-2（-θ）=
故所求的粒子回到A點(diǎn)的最短運(yùn)動(dòng)時(shí)間
    t=T+T=          （3分）

略