Question

（2006?宿遷一模）如圖2所示是游樂場中過山車的實物圖片，圖1是過山車的模型圖．在模型圖中半徑分別為R₁=2.0m和R₂=8.0m的兩個光滑圓形軌道，固定在傾角為α=37°斜軌道面上的Q、Z兩點，且兩圓形軌道的最高點A、B均與P點平齊，圓形軌道與斜軌道之間圓滑連接．現使小車（視作質點）從P點以一定的初速度沿斜面向下運動．已知斜軌道面與小車間的動摩擦因數為μ=1/24，g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8．問：
（1）若小車恰好能通過第一個圓形軌道的最高點A處，則其在P點的初速度應為多大？
（2）若小車在P點的初速度為10m/s，則小車能否安全通過兩個圓形軌道？

Answer 1

分析：（1）小車恰好能通過第一個圓形軌道的最高點A處時，由重力提供向心力，根據牛頓第二定律求出小球經過A點的速度．由幾何知識求出P、Q間的距離S_PQ，運用動能定理研究小球從P到A的過程，求解P點的初速度．
（2）首先根據小車在P點的初速度10m/s，與第一問中v₀比較，分析小車能否安全通過圓弧軌道O₁．若小車恰能通過B點，由重力提供向心力，由牛頓第二定律列方程，求出小車通過B點的臨界速度，根據動能定理求出小車在P點的臨界速度，再確定小車能否安全通過兩個圓形軌道．

解答：解：
（1）設小車經過A點時的臨界速度為v₁，則有
mg=

m v 2 1

R1

設Q點與P點高度差為h₁，PQ間距離為L₁，
L1=

R1(1+cosα)

sinα

P到A對小車，由動能定理得：
-(μmgcosα)L1=

1

2

m

v

2 1

-

1

2

m

v

2 01

解得v₀₁=4m/s
（2）Z點與P點高度差為h₂，PZ間距離為L₂
L2=

R2(1+cosα)

sinα

小車能安全通過兩個圓形軌道的臨界條件是在B點速度為v₂且在B點時有：mg=

m v 2 2

R2

設P點的初速度為：v₀₂
P點到B點的過程，由動能定理得：
-(μmgcosα)L2=

1

2

m

v

2 2

-

1

2

m

v

2 02

解得：v₀₂=8m/s…（2分）
可知v₀₂=8m/s＜10m/s，能安全通過．
答：1）若小車恰好能通過第一個圓形軌道的最高點A處，則其在P點的初速度應為4m/s；
（2）若小車在P點的初速度為10m/s，則小車能安全通過兩個圓形軌道．

點評：對于物體在豎直平面內光滑圓軌道最高點的臨界速度v=

gR

，要在理解的基礎上加強記憶，圓周運動往往與動能定理、機械能守恒等進行綜合．本題難點在于運用幾何知識求距離．中等難度．