Question

【題目】如圖所示的半圓形軌道，該軌道是用內壁光滑的薄壁細圓管彎成，放置在豎直平面內，圓半徑比細管內徑大得多，軌道底端與水平地面相切，軌道在水平方向不可移動．彈射裝置將一個小球(可視為質點)從a點水平彈射向b點并進入軌道，經過軌道后從最高點c拋出。已知小球與地面ab段間的動摩擦因數μ＝0.2，不計其他機械能損失，ab段長L＝3m，圓的半徑R＝0.1m，小球質量m＝0.01kg，軌道質量為M＝0.19kg，g取10m/s2，求：

(1)若v0＝5m/s，小球從最高點c拋出后的水平射程．

(2)若v0＝5m/s，小球經過軌道的最高點c時，管道對小球作用力的大小和方向．

(3)設小球進入軌道之前，軌道對地面的壓力大小等于軌道自身的重力，當v0至少為多少時，小球經過c點時，軌道對地面的壓力為零．

Answer 1

【答案】（1）0.6m.（2）0.8N，方向豎直向下．（3）6m/s.

【解析】(1)設小球到達c點處速度為v，由動能定理，得

－μmgL－mg2R＝mv2－mv02①

小球由c點做平拋運動，有2R＝gt2②

x＝vt③

聯立①②③并代入數值，解得小球從最高點c拋出后的水平射程：x＝0.6m.

(2)當小球通過c點時，由牛頓第二定律得

FN＋mg＝m

代入數值解得管道對小球作用力FN＝0.8N，方向豎直向下．

(3)設小球到達c點處速度為vc，由動能定理，得

－μmgL－mg2R＝mvc2－mv02④

當小球通過c點時，由牛頓第二定律得

FN′＋mg＝m⑤

要使軌道對地面的壓力為零，則有FN′＝Mg⑥

聯立④⑤⑥并代入數值，解得v0＝6m/s.