Question

【題目】如圖，一個半徑為R的半球形的碗固定在桌面上，碗口水平，O點為其球心，碗的內表面及碗口是光滑的．一根輕質細線跨在碗口上，線的兩端分別系有小球A和B ， 當它們處于平衡狀態時，小球A與O點的連線與水平線的夾角為60°．

（1）求小球A與小球B的質量比mA：mB
（2）現將A球質量改為2m、B球質量改為m ， 且開始時A球位于碗口C點，由靜止沿碗下滑，當A球滑到碗底時，求兩球總的重力勢能改變量；（B球未碰到碗壁）
（3）在（2）條件下，當A球滑到碗底時，求B球的速度大小．

Answer 1

【答案】
（1）

設繩的張力為T，對A球進行受力分析，有:

Nsin60°+Tsin60°=mAg

Ncos60°=Tcos60°

對B球進行受力分析，有 T=mBg

可解得：

（2）

A球的重力勢能改變量為△EpA=﹣mAgR=﹣2mgR，

B兩球的重力勢能改變量為

所以A、B兩球總的重力勢能改變量為

（3）

當A球滑到碗底時，設A、B兩球的速度分別為vA、vB，則vAcos45°=vB （1）

根據A、B兩球總機械能守恒，有△EK+△Ep=0 （2）

即 （3）

聯立以上三式，解得： （或 或 ）

【解析】（1）設繩的張力為T ， 對A球進行受力分析，有:
Nsin60°+Tsin60°=mAg
Ncos60°=Tcos60°
對B球進行受力分析，有 T=mBg
可解得： （2）A球的重力勢能改變量為△EpA=﹣mAgR=﹣2mgR
B兩球的重力勢能改變量為
所以A、B兩球總的重力勢能改變量為 （3）當A球滑到碗底時，設A、B兩球的速度分別為vA、vB ， 則vAcos45°=vB（1）
根據A、B兩球總機械能守恒，有△EK+△Ep=0 （2）
即 （3）
聯立以上三式，解得： （或 或 ）