Question

(16分)2010 年上海世博會某國家館內，有一“自發電”地板，利用游人走過此處，踩踏地板發電．其原因是地板下有一發電裝置，如圖⑴所示，裝置的主要結構是一個截面半徑為r、匝數為n的線圈，無摩擦地套在磁場方向呈輻射狀的永久磁鐵槽中．磁場的磁感線沿半徑方向均勻分布，圖⑵為橫截面俯視圖．輕質地板四角各連接有一個勁度系數為k的復位彈簧(圖中只畫出其中的兩個)，輕質硬桿P將地板與線圈連接，從而帶動線圈上下往返運動(線圈不發生形變)，便能發電．若線圈所在位置磁感應強度大小為B，線圈的總電阻為R₀，現用它向一個電阻為R的小燈泡供電．為便于研究，將某人走過時對板的壓力使線圈發生的位移x隨時間t變化的規律簡化為圖⑶所示．(彈簧始終處在彈性限度內，取線圈初始位置x＝0，豎直向下為位移的正方向)求：

⑴0～t₀時間內線圈中感應電流的大小及方向；
⑵t＝t₀/2時地板受到的壓力；
⑶人踩踏一次地板所做的功．

Answer 1

⑴I＝，俯視逆時針方向；⑵F＝2kx₀＋；⑶W＝

試題分析：⑴由圖⑶可知，線圈在0～t₀時間內向下做勻速運動，運動速度大小為v＝      ①
線圈在向下運動的過程中切割磁感線，其感應電動勢為：E＝2πnBrv         ②
根據閉合電路歐姆定律可知，此時線圈中感應電流大小為：I＝        ③
由①②③式聯立解得：I＝        ④
根據右手定則可以判斷出感應電流的方向為俯視逆時針方向
⑵在線圈向下運動的過程中受到了磁場向上的安培力作用，大小為：＝2πnBrI         ⑤
根據胡克定律可知，在t＝t₀/2時刻，四根彈簧對地板向上的支持力增加了：ΔF＝4kΔx＝2kx₀     ⑥
由于地板、線圈構成整體，勻速運動，根據平衡條件可知人對地板的壓力為：F＝＋ΔF      ⑦
由④⑤⑥⑦式聯立解得：F＝2kx₀＋
⑶人在踩踏一次地板的過程中，線圈總位移為0，因此彈簧的彈性勢能不變，但無論是線圈勻速向下運動，還是勻速向上運動，線圈都切割磁感線，且感應電動勢大小不變，即回路中感應電流的大小不變，產生電熱，根據功能關系有：W＝ΔE         ⑧
根據焦耳定律有：ΔE＝2I²(R＋R₀)t₀         ⑨
由④⑧⑨式聯立解得：W＝