Question

【題目】一個(gè)酒杯的軸截面是一條拋物線的一部分，它的方程是x2=2y，y∈[0，10]，在杯內(nèi)放入一個(gè)清潔球，要求清潔球能擦凈酒杯的最底部（如圖），則清潔球的最大半徑為

Answer 1

【答案】1
【解析】設(shè)小球圓心（0，y0）
拋物線上點(diǎn)（x，y）
點(diǎn)到圓心距離平方為：
r2=x2+（y﹣y0）2=2y+（y﹣y0）2=y2+2（1﹣y0）y+y02
若r2最小值在（0，0）時(shí)取到，則小球觸及杯底
故此二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸位置應(yīng)在y軸的左側(cè)，所以1﹣y0≥0y0≤1，
所以0＜r≤1，從而清潔球的半徑r的范圍為 0＜r≤1
則清潔球的最大半徑為 1
故答案為：1．
設(shè)小球圓心（0，y0） 拋物線上點(diǎn)（x，y），求得點(diǎn)到球心距離r平方的表達(dá)式，進(jìn)而根據(jù)若r2最小值在（0，0）時(shí)取到，則小球觸及杯底，需1﹣y0≥0 進(jìn)而求得r的范圍．