Question

【題目】設(shè)， 是橢圓上的兩點(diǎn)，橢圓的離心率為，短軸長為2，已知向量， ，且， 為坐標(biāo)原點(diǎn).

（1）若直線過橢圓的焦點(diǎn)，（ 為半焦距），求直線的斜率的值；

（2）試問： 的面積是否為定值？如果是，請給予證明；如果不是，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析.

【解析】試題分析：（1）根據(jù)條件可得，再設(shè)直線的方程為： ，與橢圓聯(lián)立方程組，利用韋達(dá)定理和已知條件，即可求出的值；（2）先考慮直線斜率不存在的情況，即， ，根據(jù)，求得和的關(guān)系式，代入橢圓的方程求得點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)的絕對值，進(jìn)而求得△AOB的面積的值；當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)出直線的方程，與橢圓聯(lián)立方程組，利用韋達(dá)定理表示出和，再利用，弦長公式及三角形面積公式求得答案.

試題解析：（1）由題可得： ， ，所以，橢圓的方程為

設(shè)的方程為： ，代入得：

∴， ，

∵，∴，即：

即，解得：

（2）①直線斜率不存在時，即，

∵

∴，即

又∵點(diǎn)在橢圓上

∴，即

∴，

∴，故的面積為定值1

②當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)的方程為，

聯(lián)立得：

∴， ，

∴

所以三角形的面積為定值1.