Question

【題目】已知函數（且）.

（1）判斷的奇偶性并證明；

（2）若，是否存在，使在的值域為？若存在，求出此時的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）奇函數；證明見解析；（2）存在，.

【解析】

（1）求出函數的定義域，然后利用奇偶性的定義驗證函數的奇偶性；

（2）由，可得出，利用復合函數可分析出函數在區間上為減函數，由題意得，于是得出關于的方程在區間上有兩解，即關于的方程在上有兩個不等的實根，然后結合二次函數的圖象列出關于的不等式組，解出即可.

（1）函數是奇函數；證明如下：

由解得或，所以，函數的定義域為，關于原點對稱．

，

因此，函數為奇函數；

（2）由題意知，，且，.

令在上為增函數，

而函數為減函數，所以，函數在上為減函數，

假設存在，使得題意成立，則函數在上為減函數，

則有，即，．

所以、是方程的兩正根，

整理得在有個不等根和，由韋達定理得，則.

令，則函數在有個零點，

則，解得.

因此，實數的取值范圍是.