Question

20、由0，1，2，3，4，5這六個數字．
（1）能組成多少個無重復數字的四位數？
（2）能組成多少個無重復數字且被25整除的四位數？
（3）組成無重復數字的四位數中比4032大的數有多少個

Answer 1

分析：（1）由題意知，因為數字中有0，0不能放在首位，先安排首位的數字，從五個非0數字中選一個，共有C₅¹種結果，余下的五個數字在五個位置進行全排列，共有A₅³種結果，根據乘法原理得到結果．
（2）被25整除的數字包括兩種情況，一是最后兩位是25，需要先從余下的非0數字中選一個做首位，剩下的三個數字選一個放在第二位，二是最后兩位數字是50，共有A₄²種結果，根據加法原理得到結果．
（3）當首位是5時，其他幾個數字在三個位置上排列，當首位是4時，第二位從1，2，3，5四個數字中選一個，后兩位沒有限制，當前兩位是40時，當前三位是403時，分別寫出結果數，相加得到結果．

解答：解：（1）由題意知，因為數字中有0，0不能放在首位，
∴先安排首位的數字，從五個非0數字中選一個，共有C₅¹種結果，
余下的五個數字在五個位置進行全排列，共有A₅³種結果，
根據分步計數原理知共有A¹₅•A³₅=300

（2）被25整除的數字包括兩種情況，一是最后兩位是25，
需要先從余下的非0數字中選一個做首位，
剩下的三個數字選一個放在第二位，共有A₃¹A₃¹種結果，
二是最后兩位數字是50，共有A₄²種結果，
根據分類計數原理知共有A¹₃A¹₃+A²₄=21

（3）當首位是5時，其他幾個數字在三個位置上排列，共有A₅³=60，
當首位是4時，第二位從1，2，3，5四個數字中選一個，共有C₄¹A₄²=48
當前兩位是40時，第三位是5，最后一位三選一，共有A₃¹=3
當前三位是403時，有1個，
根據分類加法原理得到共有A³₅+A¹₄A²₄+A¹₃+1=112

點評：本題是考查排列組合問題，是一個綜合題，包括數字問題中可能遇到的所有情況，同學們注意分析問題，加以比較，爭取做到舉一反三．