Question

設

a

=(cosα，sinα)，

b

=(cosβ，sinβ)
（1）若

a

-

b

=(-

2

3

，

1

3

)，θ為

a

，

b

的夾角，求cosθ．
（2）若

a

與

b

夾角為60°，那么t為何值時|

a

-t

b

|的值最小？

Answer 1

分析：（1）由夾角公式可知cosθ=

a • b

| a || b |

，只需有題意分別求得

a

•

b

和|

a

||

b

|代入即可；
（2）平方可得|

a

-t

b

|2=

a

2-2t

a

•

b

+t2

b

2=1-t+t²=（t-

1

2

）²+

3

4

，由二次函數求最值的方法可得結果．

解答：解：（1）由題意可得，

a

-

b

=(cosα-cosβ，sinα-sinβ)，又

a

-

b

=(-

2

3

，

1

3

)
所以

cosα-cosβ=- 2 3 ，  ① sinα-sinβ= 1 3 ，  ②

，①²+②²可得，2-cos（α-β）=

5

9

∴cos（α-β）=

13

18

∴

a

•

b

=cosαcosβ+sinαsinβ=cos（α-β）=

13

18

，
∵|

a

|=|

b

|=1
∴cosθ=

a • b

| a || b |

=cos（α-β）=

13

18

（2）∵|

a

-t

b

|2=

a

2-2t

a

•

b

+t2

b

2=1-t+t²=（t-

1

2

）²+

3

4

由二次函數可知：當t=

1

2

時，|

a

-t

b

|2有最小值

3

4

，即|

a

-t

b

|有最小值

3

2

點評：本題為向量的基本運算和三角函數公式的結合，熟記公式和運算法則是解決問題的關鍵，屬中檔題．