Question

已知橢圓的離心率為，且經(jīng)過點． 過它的兩個焦點，分別作直線與，交橢圓于A、B兩點，交橢圓于C、D兩點，且．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）求四邊形的面積的取值范圍．

Answer 1

（1）；（2）

試題分析：（1）由離心率為可知，所以，再將點P的坐標(biāo)代入橢圓方程得，故所求橢圓方程為 ；
（2）與垂直，可分為兩種情況討論：一是當(dāng)與中有一條直線的斜率不存在，則另一條直線的斜率為0；二是若與的斜率都存在；
當(dāng)與中有一條直線的斜率不存在，則另一條直線的斜率為0，此時四邊形的面積為；
若與的斜率都存在，設(shè)的斜率為，則的斜率為．直線的方程為，
設(shè)，，聯(lián)立，消去整理得，
（1），，
，
（2），注意到方程（1）的結(jié)構(gòu)特征，或圖形的對稱性，可以用代替（2）中的，
得 ，
，利用換元法，再利用對構(gòu)函數(shù)可以求出最值，令，， ，綜上可知，四邊形面積的.
試題解析：（1）由，所以，         2分
將點P的坐標(biāo)代入橢圓方程得，                            4分
故所求橢圓方程為                                   5分
（2）當(dāng)與中有一條直線的斜率不存在，則另一條直線的斜率為0，
此時四邊形的面積為，                         7分
若與的斜率都存在，設(shè)的斜率為，則的斜率為．直線的方程為，
設(shè)，，聯(lián)立，
消去整理得，  （1）
，，                8分
，（2）       9分
注意到方程（1）的結(jié)構(gòu)特征，或圖形的對稱性，可以用代替（2）中的，
得 ，      10分
，令，
， ，綜上可知，四邊形面積的.            13分