Question

已知函數f（x）=lnx，g（x）=

a

x

（a＞0），設F（x）=f（x）+g（x）．
（Ⅰ）求函數F（x）的單調區間；
（II）是否存在實數m，使得函數y=g（

2a

x2+1

）+m-1的圖象與函數y=f（1+x²）的圖象恰有四個不同的交點？若存在，求出實數m的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）分別把f（x）和g（x）的解析式代入F（x）中，求出F′（x）=0時x的值為a及函數的定義域為x大于0，令導函數大于0解出x的范圍即為函數的增區間，令導函數小于0求出x的值即為函數的間區間；
（II）分別把

2a

x2+1

代入g（x），把1+x²代入到f（x）中，要使兩個函數圖象有四個不同的交點，即讓y相等得到的方程m=ln（x²+1）-

1

2

x²+

1

2

有四個解，可設G（x）=ln（x²+1）-

1

2

x²+

1

2

，求出G′（x）=0時x的值，利用x的值分區間討論導函數的正負即可得到函數的單調區間，利用函數的增減性求出函數的最大值G（1）和最小值G（0），然后求出G（2）和G（-2）相等且都小于G（0），所以m屬于（G（0），G（1））時方程恰有四個解，求出m的范圍即可．

解答：解：（I）F（x）=f（x）+g（x）=lnx+

a

x

（a＞0），
F′（x）=

1

x

-

a

x2

=

x-a

x2

（x＞0）．
∵a＞0，由F′（x）＞0⇒x∈（a，+∞），∴F（x）在（0，+∞）上單調遞增．
由F′（x）＜0⇒x∈（0，a），∴F（x）在（0，a）上單調遞減．
∴F（x）的單調遞減區間為（0，a），單調遞增區間為（a，+∞）

（II）若y=g（

2a

x2+1

）+m-1=

1

2

x²+m-

1

2

的圖象與y=f（1+x²）=ln（x²+1）的圖象恰有四個不同得交點，
即有四個不同的根，亦即m=ln（x²+1）-

1

2

x²+

1

2

有四個不同的根．
令G（x）=ln（x²+1）-

1

2

x²+

1

2

，則G′（x）=

2x

x2+1

-x=

2x-x3-x

x2+1

=

-x(x+1)(x-1)

x2+1

當x變化時，G′（x）、G（x）的變化情況如下表：

由表格知：G（x）_最小值=G（0）=

1

2

，G（x）_{（最大值）}=G（1）=G（-1）=ln2＞0．
畫出草圖和驗證G（2）=G（-2）=ln5-2+

1

2

＜

1

2

可知，當m∈（

1

2

，ln2）時，y=G（x）與y=m恰有四個不同的交點．
∴當m∈（

1

2

，ln2）時，y=g（

2a

x2+1

）+m-1=

1

2

x²+m-

1

2

的圖象與y=f（1+x²）=ln（x²+1）的圖象恰有四個不同的交點．

點評：本題要求學生會利用x的值討論導函數的正負得到函數的單調區間以及會根據函數的增減性求出函數的最值，是一道中檔題．