Question

已知函數f（x）=

3 x

a

+

3 (a-1)

x

，a≠0且a≠1．
（1）試就實數a的不同取值，寫出該函數的單調增區間；
（2）已知當x＞0時，函數在（0，

6

）上單調遞減，在（

6

，+∞）上單調遞增，求a的值并寫出函數的解析式；
（3）記（2）中的函數圖象為曲線C，試問是否存在經過原點的直線l，使得l為曲線C的對稱軸？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）f（x）=

3 x

a

+

3 (a-1)

x

=

3

(

x

a

+

a-1

x

)，故需對a分①當a＜0②當0＜a＜1③當a＞1三種情況討論函數的單調增區間
（2）由題設及（1）中③知

a(a-1)

=

6

，且a＞1，可求a的值，從而可得函數解析式
（3）假設存在經過原點的直線l為曲線C的對稱軸，根據題意故可設l：y=kx（k≠0）．
設P′（p′，q′）與P（p，q）關于直線l對稱，且p≠p′，q≠q′，則P′在曲線C上，得

q+q/

2

=k•

p+p/

2

，

q-q/

p-p/

=-

1

k

，且q=

p

3

+

2 3

p

，q′=

p/

3

+

2 3

p/

，整理可求k

解答：解：（1）①當a＜0時，函數f（x）的單調增區間為（-

a(a-1)

，0），（0，

a(a-1)

）；
②當0＜a＜1時，函數f（x）的單調增區間為（-∞，0），（0，+∞）；
③當a＞1時，函數f（x）的單調增區間為（-∞，-

a(a-1)

），（

a(a-1)

，+∞）．
（2）由題設及（1）中③知

a(a-1)

=

6

，且a＞1，解得a=3，因此函數解析式為f（x）=

3 x

3

+

2 3

x

（ x≠0）．
（3）假設存在經過原點的直線l為曲線C的對稱軸，顯然x，y軸不是曲線C的對稱軸，故可設l：y=kx（k≠0）．
設P（p，q）為曲線C上的任意一點，P′（p′，q′）與P（p，q）關于直線l對稱，且p≠p′，q≠q′，
則P′也在曲線C上，由此得

q+q/

2

=k•

p+p/

2

，

q-q/

p-p/

=-

1

k

，
且q=

p

3

+

2 3

p

，q′=

p/

3

+

2 3

p/

，整理得k-

1

k

=

2

3

，解得k=

3

或k=-

3

3

．
所以存在經過原點的直線y=

3

x及y=-

3

3

x為曲線C的對稱軸．

點評：本題目主要考查了利用函數的性質求解函數的單調區間、函數的解析式，利用函數的對稱性求解直線的方程的知識的綜合應用．